numéro

Pythagore ne sert que dans un triangle rectangle. Al-Kashi fonctionne dans tout triangle $ABC$ . On note $a = BC$ , $b = AC$ , $c = AB$ : chaque côté porte le nom (en minuscule) du sommet qui lui fait face.

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\widehat{C}.

D'où vient la formule. Avec le produit scalaire (leçon) : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}$ , donc

AB^2 = \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB} = CB^2 + CA^2 - 2\,\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB} = a^2 + b^2 - 2ab\cos\widehat{C}.

C'est Pythagore, plus un terme qui tient compte de l'angle. Si $\widehat{C} = 90°$ , $\cos 90° = 0$ et on retrouve Pythagore. Si $\widehat{C}$ est obtus, $\cos\widehat{C} < 0$ , le terme $-2ab\cos\widehat{C}$ est positif et $c^2 > a^2 + b^2$ .

Al-Kashi : Pythagore avec un cosinus

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos\widehat{C}$ . Les sommets se posent sur un quadrillage (un carreau = 1). Quand $\widehat{C} = 90°$ , le cosinus s'annule et on retrouve Pythagore.

Rendez l'angle en C obtus : le terme −2·AC·BC·cos Ĉ devient positif et AB² dépasse AC² + BC². Rendez-le droit : le terme vaut 0.

Ĉ ≈ 83° · AC² + BC² = 130 + 162 = 292 · −2·AC·BC·cos Ĉ ≈ -36 · total ≈ 256 · AB² mesuré = 256.

Exemple 1 : calculer un côté. $a = 5$ , $b = 7$ , $\widehat{C} = 60°$ : $c^2 = 25 + 49 - 2 \times 5 \times 7 \times \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39$ , donc $c = \sqrt{39} \approx 6{,}24$ .

Exemple 2 : calculer un angle. On isole le cosinus :

\cos\widehat{C} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}.

Avec $a = 4$ , $b = 5$ , $c = 6$ : $\cos\widehat{C} = \frac{16 + 25 - 36}{40} = \frac{5}{40} = 0{,}125$ , puis $\widehat{C} = \cos^{-1}(0{,}125) \approx 82{,}8°$ .

Attention au piège. Appliquer Pythagore à un triangle quelconque, c'est oublier le terme $-2ab\cos\widehat{C}$ .

Un contrôle utile. L'angle dont on prend le cosinus est celui opposé au côté qu'on isole : $c$ en face de $\widehat{C}$ .

ExerciceÉtape 1/4

Appliquer Al-Kashi

Données de l'exercice

ABC

c