Équations de cercles

Le cercle de centre $\Omega(a\,;\,b)$ et de rayon $r > 0$ est l'ensemble des points $M(x\,;\,y)$ situés à la distance $r$ de $\Omega$ : $\Omega M = r$.

La distance se calcule avec la formule vue dans la leçon sur le repère : $\Omega M = \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}$. Comme les deux côtés de $\Omega M = r$ sont positifs, on peut les élever au carré sans rien perdre, et la racine disparaît :

Exemple. Centre $\Omega(2\,;\,-1)$, rayon $3$ : $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$. Attention au signe : $y - (-1) = y + 1$.

Un point est dans le disque si $(x-a)^2 + (y-b)^2 < r^2$, sur le cercle en cas d'égalité, dehors si c'est plus grand.

Retrouver le centre et le rayon

On rencontre parfois l'équation développée, par exemple $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 = 0$. Pour lire le centre, on « complète les carrés » :

1. $x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$ (car $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$) ;
2. $y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9$ ;
3. l'équation devient $(x-2)^2 - 4 + (y+3)^2 - 9 + 4 = 0$, soit $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 9$.

C'est le cercle de centre $(2\,;\,-3)$ et de rayon $3$.

Attention au piège. Après avoir complété les carrés, le nombre de droite doit être strictement positif pour avoir un cercle. $x^2 + y^2 = 0$ ne contient que l'origine ; $x^2 + y^2 = -1$ ne contient aucun point.

Limite. Le cercle trigonométrique (rayon $1$, centre $O$) est le même objet, relu en analyse : cercle trigonométrique.