Orthogonalité et projection orthogonale

Reconnaître un angle droit par le calcul

La leçon précédente a montré que $\vec{u}\cdot\vec{v} = \lVert \vec{u} \rVert \, \lVert \vec{v} \rVert \cos\theta$. Pour deux vecteurs non nuls, les normes ne sont pas nulles, donc le produit scalaire vaut $0$ exactement quand $\cos\theta = 0$, c'est-à-dire quand $\theta = 90°$.

Deux vecteurs sont dits orthogonaux quand $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$. Pour des vecteurs non nuls, cela veut dire : ils forment un angle droit. L'intérêt : on vérifie un angle droit par un calcul, sans rapporteur.

Exemple. $\vec{u}(3\,;\,2)$ et $\vec{v}(-2\,;\,3)$ : $3 \times (-2) + 2 \times 3 = 0$, donc ils sont orthogonaux. Deux droites sont perpendiculaires quand leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

Projection orthogonale

Soit une droite $d$ qui passe par $O$, dirigée par $\vec{v}$, et un point $M$. Le projeté orthogonal de $M$ sur $d$ est le point $H$ de $d$ tel que $(MH)$ est perpendiculaire à $d$ : c'est le « pied » de la perpendiculaire, l'ombre de $M$ sur $d$ quand la lumière tombe à angle droit.

Le produit scalaire se lit sur cette ombre. Avec $\vec{u} = \overrightarrow{OM}$ :

où $\overline{OH}$ est la longueur $OH$, comptée positivement si $H$ est du même côté que $\vec{v}$, négativement sinon.

Exemple. $d$ est l'axe des abscisses, $\vec{v}(5\,;\,0)$ et $M(4\,;\,3)$. Le projeté est $H(4\,;\,0)$, donc $\overline{OH} = 4$ et $\vec{u}\cdot\vec{v} = 4 \times 5 = 20$. Vérification : $4 \times 5 + 3 \times 0 = 20$. ✓

Attention au piège. Orthogonal n'est pas colinéaire. Colinéaires : même direction, le déterminant est nul. Orthogonaux : angle droit, le produit scalaire est nul.

Un contrôle utile. Si $M$ est déjà sur la perpendiculaire à $d$ en $O$, son projeté est $O$ lui-même, et le produit scalaire est nul.