Produit scalaire : définition et propriétés

Le produit scalaire associe à deux vecteurs un nombre (pas un vecteur). Il mesure à quel point les deux flèches « vont dans le même sens ».

Avec les coordonnées

Dans un repère orthonormé, pour $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ :

Exemple. $\vec{u}(3\,;\,1)$ et $\vec{v}(2\,;\,4)$ : $\vec{u}\cdot\vec{v} = 3 \times 2 + 1 \times 4 = 10$.

En particulier $\vec{u}\cdot\vec{u} = x^2 + y^2 = \lVert \vec{u} \rVert^2$ : le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même est sa norme au carré.

Avec l'angle

Si $\theta$ est l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (dessinés à partir du même point), on a aussi

Pourquoi les deux formules donnent le même nombre. Choisissons le repère pour que $\vec{u}$ soit sur l'axe des abscisses : $\vec{u}\begin{pmatrix} \lVert \vec{u} \rVert \\ 0 \end{pmatrix}$. Alors $\vec{v}$, de longueur $\lVert \vec{v} \rVert$ et faisant l'angle $\theta$ avec cet axe, a pour coordonnées $\begin{pmatrix} \lVert \vec{v} \rVert \cos\theta \\ \lVert \vec{v} \rVert \sin\theta \end{pmatrix}$. La formule des coordonnées donne $\lVert \vec{u} \rVert \times \lVert \vec{v} \rVert \cos\theta + 0$ : c'est la formule avec l'angle.

Quand $\theta$ dépasse $90°$, $\cos\theta$ est négatif : c'est le cosinus lu sur le cercle trigonométrique, voir cosinus et sinus d'un réel.

Le signe raconte l'angle.

• angle aigu ($\theta < 90°$) : $\vec{u}\cdot\vec{v} > 0$ ;
• angle droit ($\theta = 90°$) : $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ ;
• angle obtus ($\theta > 90°$) : $\vec{u}\cdot\vec{v} < 0$.

Règles de calcul. On peut échanger l'ordre ($\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}$), développer comme un produit de nombres ($\vec{u}\cdot(\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u}\cdot\vec{w}$), et sortir un nombre ($(k\vec{u})\cdot\vec{v} = k(\vec{u}\cdot\vec{v})$).

Attention au piège. $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ ne veut pas dire « les vecteurs sont nuls » : cela arrive dès qu'ils forment un angle droit (leçon suivante).

Un contrôle utile. Calculez avec les deux formules quand vous le pouvez : elles doivent donner le même nombre. Par exemple $\vec{u}(2\,;\,0)$ et $\vec{v}(1\,;\,1)$ : $2 \times 1 + 0 = 2$, et $2 \times \sqrt{2} \times \cos 45° = 2 \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2$. ✓