ThèmeAnalyse

Cosinus et sinus d'un réel

Fonctions sur R\mathbb{R}

À partir d'ici, les angles sont mesurés en radians (voir la leçon précédente). Pour tout réel xx, les fonctions cos⁡\cos et sin⁡\sin associent les coordonnées du point MM sur le cercle trigonométrique.

L'angle peut dépasser 2π2\pi : on effectue autant de tours que nécessaire pour atteindre la position de MM.

Exemple. x=3πx = 3\pi correspond à un tour et demi : on retombe sur le point d'angle π\pi, donc cos⁡(3π)=−1\cos(3\pi) = -1.

Pour ramener un réel quelconque dans [0 ;2π[[0\,; 2\pi[, on lui ajoute ou retranche des multiples de 2π2\pi jusqu'à tomber dans cet intervalle. C'est le premier réflexe devant un angle inhabituel.

Laboratoire : retrouver une valeur remarquable

Déplacez le point Msur le cercle. Son abscisse est le cosinus de l'angle, son ordonnée en est le sinus. Le sens de rotation est le sens trigonométrique, c'est-à-dire l'inverse des aiguilles d'une montre.

Glissez le point sur le cercle, ou utilisez le curseur ci-dessous. Les positions se calent sur des angles de 15°, ce qui permet d'atteindre tous les angles remarquables.

30°
McossinOA

Pour un angle de 30°, soit π/6 rad, le point M a pour coordonnées (0,866 ; 0,5). Donc cos = 0,866 et sin = 0,5 : un angle remarquable.

Comme le rayon vaut 1, le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle de la figure donne cos²θ + sin²θ = 1, quel que soit l'angle.
ExerciceÉtape 1/5

Cosinus et sinus sur le cercle

Pour un réel xx en radians, cos⁡x\cos x et sin⁡x\sin x sont définis par…

Bornes et identité fondamentale

Pour tout réel xx :

−1≤cos⁡x≤1,−1≤sin⁡x≤1.-1 \leq \cos x \leq 1, \quad -1 \leq \sin x \leq 1.

L'identité fondamentale relie cosinus et sinus :

cos⁡2x+sin⁡2x=1.\cos^2 x + \sin^2 x = 1.

Exemple. Si cos⁡x=35\cos x = \dfrac{3}{5} et xx est dans le premier quadrant, alors sin⁡2x=1−925=1625\sin^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}, donc sin⁡x=45\sin x = \dfrac{4}{5}.

ExerciceÉtape 1/5

Identité cos⁡2+sin⁡2=1\cos^2 + \sin^2 = 1

Pour tout réel xx, cos⁡x\cos x est toujours…

Valeurs remarquables

À retenir (angles en radians) :

cos⁡π6=32,sin⁡π6=12,\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, cos⁡π4=sin⁡π4=22.\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Il manque π3\dfrac{\pi}{3}, qui se déduit de π6\dfrac{\pi}{6} en échangeant les deux valeurs :

cos⁡π3=12,sin⁡π3=32.\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Comment ne pas les confondre. Entre 00 et π2\dfrac{\pi}{2}, le cosinus diminue de 11 à 00 et le sinus augmente de 00 à 11. Donc plus l'angle est petit, plus son cosinus est grand : cos⁡π6\cos\frac{\pi}{6} vaut 32≈0,87\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87, la plus grande des trois valeurs, et sin⁡π6=12\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} la plus petite. Vérifier cet ordre suffit à rattraper une inversion.

Exemple. cos⁡0=1\cos 0 = 1, sin⁡0=0\sin 0 = 0 et cos⁡π2=0\cos\dfrac{\pi}{2} = 0, sin⁡π2=1\sin\dfrac{\pi}{2} = 1.

ExerciceÉtape 1/5

Valeurs remarquables de cos et sin

sin⁡π6\sin\dfrac{\pi}{6} vaut…