Angles associés

Opposé et symétrie $\pi - x$

Les formules d'angles associés ramènent le calcul de $\cos$ et $\sin$ d'un angle quelconque à celui d'un angle du premier quadrant. Il n'y a rien à apprendre par cœur si l'on comprend qu'elles décrivent des symétries du cercle : les quatre points concernés ont les mêmes coordonnées, au signe près.

Opposé : symétrie par rapport à l'axe des abscisses. L'abscisse est conservée, l'ordonnée change de signe :

Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, qui correspond à $\pi - x$. Cette fois c'est l'abscisse qui change de signe :

Exemple. $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}$.

Décalage de $\pi$

Ajouter $\pi$ revient à faire un demi-tour, c'est-à-dire à prendre le symétrique par rapport au centre $O$. Les deux coordonnées changent alors de signe :

Exemple. $\cos\left(\pi + \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$.

Attention. Ne pas confondre $\pi - x$ et $\pi + x$ : le premier conserve le sinus, le second le change de signe. En cas de doute, il est plus rapide de placer le point sur le cercle que de chercher à se souvenir de la formule.

Réduire au premier quadrant

La méthode est toujours la même :

1. écrire l'angle sous la forme $-x$, $\pi - x$ ou $\pi + x$, avec $x$ compris entre $0$ et $\dfrac{\pi}{2}$ ;
2. appliquer la formule correspondante ;
3. remplacer par la valeur remarquable de $x$.

Exemple.

Contrôle des signes par quadrant. Une fois le résultat obtenu, on vérifie son signe en situant le point sur le cercle : le cosinus est positif à droite de l'axe des ordonnées, le sinus positif au-dessus de l'axe des abscisses. Ici $\dfrac{2\pi}{3}$ est dans le deuxième quadrant (en haut à gauche), donc le cosinus doit bien être négatif et le sinus positif.