Formules d'addition

Cosinus et sinus de $a + b$

Les formules d'addition permettent de calculer $\cos$ et $\sin$ d'une somme d'angles :

Exemple. Avec $a = b = \dfrac{\pi}{4}$ :

Formules pour $a - b$

En remplaçant $b$ par $-b$ ($\cos(-b) = \cos b$, $\sin(-b) = -\sin b$) :

Exemple. $\cos(a - b)$ change le signe devant $\sin a \sin b$ par rapport à $\cos(a + b)$.

Calculer un cosinus précis

Ces formules donnent accès à des angles qui ne figurent pas dans le tableau des valeurs remarquables, à condition de les écrire comme somme ou différence de deux angles connus.

Exemple. L'angle $\dfrac{\pi}{12}$ (soit $15°$) n'est pas remarquable, mais $\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}$, ce qui permet d'appliquer la formule de $\cos(a - b)$ :

On remplace par les valeurs remarquables $\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ :

Contrôle. Le résultat vaut environ $0{,}966$. C'est cohérent : $15°$ est un petit angle, donc son cosinus doit être proche de $1$ tout en restant inférieur à $1$.

Choisir la décomposition. Plusieurs écritures sont possibles ; il faut seulement que les deux angles utilisés soient remarquables. Ainsi $\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{3}$ convient, alors que $\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{\pi}{2}$ ne fait que déplacer le problème.