ThèmeAnalyse

Formules de duplication

Cosinus et sinus de 2a2a

Les formules de duplication s'obtiennent en posant b=ab = a dans les formules d'addition :

cos⁡(2a)=cos⁡2a−sin⁡2a.\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a. sin⁡(2a)=2sin⁡acos⁡a.\sin(2a) = 2\sin a\cos a.

Exemple. Avec a=π6a = \dfrac{\pi}{6} :

sin⁡π3=2sin⁡π6cos⁡π6=2⋅12⋅32=32.\sin\frac{\pi}{3} = 2\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6} = 2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
ExerciceÉtape 1/4

Formules de duplication

Les formules de duplication s'obtiennent…

Autres expressions de cos⁡(2a)\cos(2a)

En utilisant cos⁡2a+sin⁡2a=1\cos^2 a + \sin^2 a = 1, on obtient aussi :

cos⁡(2a)=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a.\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a.

Exemple. cos⁡π2=2cos⁡2π4−1=2⋅12−1=0\cos\dfrac{\pi}{2} = 2\cos^2\dfrac{\pi}{4} - 1 = 2\cdot\dfrac{1}{2} - 1 = 0.

ExerciceÉtape 1/4

Autres formes de cos(2a)

D'où vient l'écriture cos⁡(2a)=2cos⁡2a−1\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1 ?

Application

On choisit la forme la plus pratique selon les données.

Exemple. Si cos⁡a=35\cos a = \dfrac{3}{5}, alors cos⁡(2a)=2(35)2−1=1825−1=−725\cos(2a) = 2\left(\dfrac{3}{5}\right)^2 - 1 = \dfrac{18}{25} - 1 = -\dfrac{7}{25}.

ExerciceÉtape 1/4

Calculer avec la duplication

Données de l'exercice

On sait que cos⁡a=35\cos a = \dfrac{3}{5}.

Que vaut cos⁡2a\cos^2 a ?

Écrivez seulement un nombre, avec une virgule ou un point pour les décimales : 12,5 ou 12.5. Les fractions et les unités ne sont pas acceptées.