Fonctions $\cos$ et $\sin$

Domaine, image et périodicité

Jusqu'ici, $\cos$ et $\sin$ servaient à calculer des valeurs. On les regarde maintenant comme des fonctions de la variable réelle $x$, avec une courbe.

Elles sont définies sur $\mathbb{R}$ tout entier : tout réel correspond à un point du cercle. Leur image est l'intervalle $[-1\,; 1]$, puisque ce sont des coordonnées d'un point du cercle de rayon $1$.

Comme un tour complet ramène au même point, elles sont périodiques de période $2\pi$ :

Graphiquement, cela signifie que le motif tracé sur un intervalle de longueur $2\pi$ se répète indéfiniment. Il suffit donc de connaître la courbe sur $[0\,; 2\pi]$ pour la connaître partout.

Exemple. $\cos\left(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi\right) = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$.

Parité

La fonction cosinus est paire : $\cos(-x) = \cos x$. Sa courbe est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

La fonction sinus est impaire : $\sin(-x) = -\sin x$. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Ces deux propriétés ne sont pas nouvelles : ce sont les formules des angles opposés, relues sur la courbe. Elles divisent le travail par deux, puisque la moitié négative de la courbe se déduit de l'autre.

Variations sur une période

Sur $[0\,; 2\pi]$ :

• $\cos$ décroît de $1$ à $-1$ sur $[0\,; \pi]$, puis croît de $-1$ à $1$ sur $[\pi\,; 2\pi]$ ;
• $\sin$ croît de $0$ à $1$ sur $\left[0\,; \dfrac{\pi}{2}\right]$, décroît jusqu'à $-1$ en $\dfrac{3\pi}{2}$, puis remonte à $0$ en $2\pi$.

Les deux courbes ont exactement la même forme, décalée d'un quart de période :

C'est visible sur la première figure, et cela évite d'apprendre deux tableaux de variations séparés.

Contrôle utile. Un extremum de $\cos$ correspond toujours à un zéro de $\sin$, et inversement : quand un point du cercle est à l'extrémité horizontale, il est à hauteur nulle.

Exemple. Sur $[0\,; \pi]$, $\sin$ est positif et $\cos$ passe de positif à négatif, en s'annulant en $\dfrac{\pi}{2}$.