Radians

Définition du radian

Le radian (symbole rad) mesure un angle par la longueur de l'arc qu'il intercepte sur le cercle de rayon $1$. Un angle de $1$ radian correspond donc à un arc de longueur $1$.

Le degré, lui, est une convention : découper le tour en $360$ parts est pratique mais arbitraire. Le radian, au contraire, est défini par la figure elle-même, ce qui rend les calculs beaucoup plus simples dès qu'on manipule des fonctions : c'est pour cette raison qu'il devient l'unité par défaut à partir de la leçon suivante.

Exemple. Le cercle de rayon $1$ a pour longueur $2\pi$ : un tour complet mesure donc $2\pi$ rad.

Conversion degrés et radians

Un demi-tour vaut $180°$ d'un côté et $\pi$ rad de l'autre, d'où la relation fondamentale :

Tout le reste s'en déduit par proportionnalité. Des degrés vers les radians :

Et dans l'autre sens, des radians vers les degrés :

Comment ne pas inverser les deux. Un radian est un « gros » angle, environ $57°$. Une mesure en radians est donc toujours un nombre plus petit que la même mesure en degrés. Si la conversion fait grandir le nombre alors qu'on va vers les radians, c'est que la fraction a été prise à l'envers.

Exemple. $90° = 90 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{2}$ rad, et $\dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57$, bien plus petit que $90$.

Angles usuels

Ces valeurs reviennent en permanence et se retiennent mieux comme des fractions du demi-tour $\pi$ :

Le dénominateur indique en combien de parts on a coupé le demi-tour : $30°$ est le sixième de $180°$, donc $\dfrac{\pi}{6}$. Reconstruire la ligne de cette façon est plus fiable que de la mémoriser.

Exemple. $120°$ vaut deux fois $60°$, donc $2 \times \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$ rad.