numéro

Le cercle unité

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$ .

On le parcourt dans le sens trigonométrique (le sens inverse des aiguilles d'une montre) à partir du point $A(1,0)$ situé sur l'axe des abscisses. Un angle positif correspond à une rotation dans ce sens, un angle négatif à une rotation dans l'autre.

Exemple. Le point $B(-1,0)$ correspond à un demi-tour, soit un angle de $180°$ .

Laboratoire : le cercle trigonométrique

Déplacez le point Msur le cercle. Son abscisse est le cosinus de l'angle, son ordonnée en est le sinus. Le sens de rotation est le sens trigonométrique, c'est-à-dire l'inverse des aiguilles d'une montre.

Glissez le point sur le cercle, ou utilisez le curseur ci-dessous. Les positions se calent sur des angles de 15°, ce qui permet d'atteindre tous les angles remarquables.

60°

Angle

Pour un angle de 60°, soit π/3 rad, le point M a pour coordonnées (0,5 ; 0,866). Donc cos = 0,5 et sin = 0,866 : un angle remarquable.

Comme le rayon vaut 1, le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle de la figure donne cos²θ + sin²θ = 1, quel que soit l'angle.

ExerciceÉtape 1/4

Le cercle unité

Le cercle trigonométrique a pour rayon\dots

Cosinus et sinus comme coordonnées

À chaque angle $\theta$ correspond un point $M$ du cercle. Ses coordonnées définissent le cosinus et le sinus :

\cos\theta = \text{abscisse de } M, \quad \sin\theta = \text{ordonnée de } M.

C'est le même cosinus qu'au collège. Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle est le quotient du côté adjacent par l'hypoténuse. Sur la figure, le triangle $OHM$ (avec $H$ le pied de la perpendiculaire à l'axe des abscisses) est rectangle en $H$ , et son hypoténuse $OM$ vaut $1$ puisque c'est le rayon. Le quotient « adjacent sur hypoténuse » se réduit donc à la longueur $OH$ , c'est-à-dire à l'abscisse de $M$ . Même chose pour le sinus avec l'ordonnée.

L'intérêt de cette nouvelle définition est qu'elle fonctionne pour tous les angles, y compris obtus ou négatifs, là où le triangle rectangle n'en autorisait que de $0°$ à $90°$ . Elle explique aussi que le cosinus puisse être négatif : c'est simplement un point situé à gauche de l'axe des ordonnées.

Comme $M$ est sur le cercle de rayon $1$ , Pythagore donne immédiatement :

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1.

Exemple. Pour $\theta = 90°$ , le point $M$ est $(0,1)$ : on a $\cos 90° = 0$ et $\sin 90° = 1$ .

ExerciceÉtape 1/5

Coordonnées, cosinus et sinus

\cos\theta

Premiers angles remarquables

Les quatre points où le cercle coupe les axes se lisent directement, et suffisent à faire le tour complet :

Angle	Point $M$	$\cos\theta$	$\sin\theta$
$0°$	$(1,0)$	$1$	$0$
$90°$	$(0,1)$	$0$	$1$
$180°$	$(-1,0)$	$-1$	$0$
$270°$	$(0,-1)$	$0$	$-1$
$360°$	$(1,0)$	$1$	$0$

La dernière ligne est la première : après un tour complet, on revient au point de départ. C'est la première apparition de la périodicité, qui sera étudiée plus loin.

Contrôle utile. Un cosinus ou un sinus est toujours compris entre $-1$ et $1$ , puisque ce sont des coordonnées d'un point du cercle de rayon $1$ . Un résultat hors de cet intervalle signale une erreur de calcul.

Exemple. Pour $\theta = 0°$ : $M = (1,0)$ , donc $\cos 0° = 1$ et $\sin 0° = 0$ .

ExerciceÉtape 1/5

Angles remarquables sur le cercle

Données de l'exercice

À utiliser pour vérifier vos réponses Déplacez le point M sur le cercle. Son abscisse est le cosinus de l'angle, son ordonnée en est le sinus. Le sens de rotation est le sens trigonométrique, c'est-à-dire l'inverse des aiguilles d'une montre. Glissez le point sur le cercle, ou utilisez le curseur ci-dessous. Les positions se calent sur des angles de 15°, ce qui permet d'atteindre tous les angles remarquables. Degrés Radians 0° M cos sin O A Angle Pour un angle de 0 °, soit 0 rad, le point M a pour coordonnées (1; 0). Donc cos = 1 et sin = 0 : un angle remarquable . Comme le rayon vaut 1, le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle de la figure donne cos²θ + sin²θ = 1, quel que soit l'angle.

\theta = 0°

Votre réponse

Écrivez seulement un nombre, avec une virgule ou un point pour les décimales : 12,5 ou 12.5. Les fractions et les unités ne sont pas acceptées.

La leçon suivante remplace les degrés par une unité mieux adaptée au calcul, le radian.