Équations d'une droite (cartésienne, réduite)

Une droite du plan est un ensemble de points. Une équation de la droite est une égalité que vérifient tous ses points $M(x\,;\,y)$, et eux seuls.

Équation réduite

Si la droite n'est pas verticale, elle a une équation de la forme

• $m$ est la pente (ou coefficient directeur) : quand $x$ augmente de $1$, $y$ change de $m$.
• $p$ est l'ordonnée à l'origine : la droite coupe l'axe des ordonnées au point $(0\,;\,p)$.

C'est le même dessin que la fonction affine vue en analyse (fonction affine), mais ici on parle des points qui appartiennent à la droite, pas d'une fonction.

Trouver l'équation à partir de deux points. Pour $A(1\,;\,1)$ et $B(3\,;\,5)$ :

1. la pente est $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{5 - 1}{3 - 1} = 2$ ;
2. on remplace par les coordonnées de $A$ dans $y = 2x + p$ : $1 = 2 \times 1 + p$, donc $p = -1$ ;
3. l'équation est $y = 2x - 1$. Vérification avec $B$ : $2 \times 3 - 1 = 5$. ✓

Équation cartésienne

Toute droite, verticale ou non, a une équation de la forme

avec $a$ et $b$ pas tous les deux nuls (équation cartésienne). Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de cette droite.

Si $b \neq 0$, on retrouve l'équation réduite en isolant $y$ : $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$.

Exemple. $2x - y - 1 = 0$ donne $y = 2x - 1$ : c'est la droite de l'exemple précédent. Un vecteur directeur est $(1\,;\,2)$.

Droites parallèles. Deux droites non verticales sont parallèles quand elles ont la même pente : $y = 2x - 1$ et $y = 2x + 3$ sont parallèles. En cartésien : quand leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Attention au piège. Une droite verticale ($x = 2$, soit $1\cdot x + 0\cdot y - 2 = 0$) n'a pas d'équation réduite : $b = 0$. Ce n'est pas un oubli : pour un même $x$, elle contient une infinité de valeurs de $y$.

Un contrôle utile. Un point est sur la droite exactement quand ses coordonnées vérifient l'équation. $C(0\,;\,-1)$ est sur $2x - y - 1 = 0$ : $0 + 1 - 1 = 0$. ✓