numéro

Un repère orthonormé $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$ est formé d'une origine $O$ et de deux axes perpendiculaires gradués avec la même unité. Chaque point $M$ du plan est repéré par un couple $(x\,;\,y)$ , positif ou négatif. C'est le quadrillage du primaire (repérage), étendu aux nombres négatifs : à gauche de $O$ , $x < 0$ ; en dessous, $y < 0$ .

Un point, un couple

Dans un repère orthonormé, chaque point du plan est un couple $(x\,;\,y)$ . L'origine est $(0\,;\,0)$ ; les négatifs sont à gauche et en bas.

Passez dans le troisième quadrant : les deux coordonnées deviennent négatives.

M a pour coordonnées (3 ; 2).

Coordonnées d'un vecteur

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est le déplacement pour aller de $A$ à $B$ : on avance de $x_B - x_A$ horizontalement et de $y_B - y_A$ verticalement.

\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}.

Exemple. $A(1\,;\,2)$ et $B(4\,;\,-1)$ : $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ -1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}$ .

Deux vecteurs sont égaux quand ils ont les mêmes coordonnées. Pour additionner deux vecteurs, on additionne leurs coordonnées ; pour multiplier par un nombre $k$ , on multiplie chaque coordonnée par $k$ .

Coordonnées d'un vecteur

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$ : c'est le déplacement pour aller de $A$ à $B$ (en pointillés : d'abord horizontalement, puis verticalement).

Déplacez A et B du même déplacement : les coordonnées du vecteur ne changent pas, c'est la même flèche ailleurs.

A(-2 ; -1) · B(2 ; 1) · AB = (2 − (-2) ; 1 − (-1)) = (4 ; 2) · norme = √20 ≈ 4,47.

Norme et distance

La norme de $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ est la longueur de la flèche. Le déplacement horizontal $x$ et le déplacement vertical $y$ forment un triangle rectangle : d'après Pythagore,

\lVert \vec{u} \rVert = \sqrt{x^2 + y^2}.

La distance entre deux points est la norme du vecteur qui les relie :

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.

Exemple. Avec $A(1\,;\,2)$ et $B(4\,;\,-1)$ : $AB = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} \approx 4{,}24$ .

Colinéarité par le calcul

$\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ sont colinéaires exactement quand

x y' - y x' = 0.

Ce nombre $x y' - y x'$ s'appelle le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ . Exemple. $\vec{u}(2\,;\,-1)$ et $\vec{v}(-4\,;\,2)$ : $2 \times 2 - (-1) \times (-4) = 4 - 4 = 0$ , donc colinéaires (en effet $\vec{v} = -2\vec{u}$ ).

Attention au piège. Les coordonnées d'un point et celles d'un vecteur s'écrivent de la même façon. $(2\,;\,3)$ pour $M$ est une position ; pour $\vec{u}$ , un déplacement, qu'on peut dessiner à partir de n'importe quel point.

Un contrôle utile. Dans $x_B - x_A$ , c'est toujours « arrivée moins départ ». Inverser donne le vecteur opposé $\overrightarrow{BA}$ .

ExerciceÉtape 1/3

Lire un point

Données de l'exercice

x y -5 -5 -4 -4 -3 -3 -2 -2 -1 -1 1122334455 M

M

ExerciceÉtape 1/3

Coordonnées d'un vecteur

Données de l'exercice

A(-2\,;\,1)

\overrightarrow{AB}