Vecteurs du plan et colinéarité

Au collège, la translation qui envoie $A$ sur $B$ faisait glisser le plan comme une flèche de $A$ vers $B$. Cette flèche s'appelle le vecteur $\overrightarrow{AB}$. Un vecteur a :

• une direction (celle de la droite $(AB)$) ;
• un sens (de $A$ vers $B$) ;
• une norme : sa longueur $AB$, notée $\lVert \overrightarrow{AB} \rVert$.

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme : ce sont la même flèche, dessinée à deux endroits. Ainsi $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ exactement quand $ABCD$ est un parallélogramme. On note souvent un vecteur par une seule lettre : $\vec{u}$.

Somme et relation de Chasles

Faire un glissement $\vec{u}$ puis un glissement $\vec{v}$ revient à faire un seul glissement : le vecteur somme $\vec{u} + \vec{v}$. On le lit de deux façons :

• bout à bout : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ (relation de Chasles : la lettre du milieu se « simplifie ») ;
• sur un parallélogramme : si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ partent du même point $O$, leur somme est la diagonale du parallélogramme issue de $O$.

Le vecteur opposé de $\overrightarrow{AB}$ est $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ (même direction, même norme, sens contraire). La différence $\vec{u} - \vec{v}$ est $\vec{u} + (-\vec{v})$. Le vecteur nul $\vec{0} = \overrightarrow{AA}$ ne déplace rien.

Multiplier un vecteur par un nombre

Pour un nombre $k$, le vecteur $k\vec{u}$ a la même direction que $\vec{u}$, une norme multipliée par $k$ (sans son signe), et :

• le même sens que $\vec{u}$ si $k > 0$ ;
• le sens contraire si $k < 0$.

Par exemple $2\vec{u}$ est deux fois plus long que $\vec{u}$, et $-\frac{1}{2}\vec{u}$ est deux fois plus court, dans l'autre sens.

Colinéarité

Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'ils ont la même direction, c'est-à-dire s'il existe un nombre $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ (avec $k$ positif ou négatif). Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.

Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur non nul qui a la direction de cette droite : pour la droite $(AB)$, $\overrightarrow{AB}$ en est un.

• Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
• Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Attention au piège. Colinéaires ne veut pas dire « de même longueur ». Un vecteur et son opposé sont colinéaires ; $\vec{u}$ et $3\vec{u}$ aussi.

Un contrôle utile. Sur la figure, quand $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, le parallélogramme s'aplatit : il n'a plus d'intérieur. La leçon suivante donnera un calcul avec les coordonnées pour le vérifier.