Représentation graphique d'une fonction affine

La courbe est une droite

La leçon précédente a défini la fonction affine $f(x) = ax + b$. Sa courbe est toujours une droite, et les deux coefficients s'y lisent directement :

• $b$ donne le point où la droite coupe l'axe des ordonnées, en $(0, b)$ ;
• $a$ donne son inclinaison.

La droite passe par l'origine seulement si $b = 0$, c'est-à-dire seulement si la fonction est linéaire.

Exemple. La courbe de $f(x) = 2x - 3$ est une droite qui coupe l'axe des ordonnées en $(0, -3)$.

Méthode de tracé

Pour tracer $f(x) = ax + b$ :

1. placer le point $(0, b)$ sur l'axe des ordonnées ;
2. appliquer la pente depuis ce point : « $+1$ en abscisse, $+a$ en ordonnée », ce qui donne $(1, a + b)$ ;
3. tracer la droite passant par ces deux points.

Quand $a$ est une fraction, on avance de son dénominateur pour retomber sur un nœud du quadrillage.

Exemple. Pour $f(x) = \frac{3}{2}x + 1$ :

• point de départ $(0, 1)$ ;
• pente $\frac{3}{2}$ : en avançant de $2$ en abscisse, on monte de $3$ en ordonnée, donc le point $(2, 4)$.

Attention au signe. Si $a < 0$, « $+1$ en abscisse » fait descendre de $|a|$. Pour $f(x) = -2x + 1$, on part de $(0, 1)$ et on arrive en $(1, -1)$.

Le tracé se contrôle en calculant une troisième image : si le point obtenu n'est pas sur la droite tracée, il y a une erreur.

Retrouver $a$ et $b$ à partir d'une droite

L'opération inverse est tout aussi utile : partir d'une droite dessinée et retrouver son expression.

1. lire $b$ à l'intersection avec l'axe des ordonnées ;
2. choisir deux points de la droite, de préférence sur le quadrillage, et calculer

L'ordre des points n'a pas d'importance, à condition d'écrire les deux différences dans le même sens : si l'on soustrait $y_1$ à $y_2$ au numérateur, il faut soustraire $x_1$ à $x_2$ au dénominateur.

Exemple. Sur la figure, la droite coupe l'axe des ordonnées en $(0, 3)$, donc $b = 3$. Elle passe aussi par $(2, -1)$, donc

et son expression est $f(x) = -2x + 3$.

Sens de variation

Le signe de la pente donne le sens de variation, et lui seul :

• si $a > 0$, la fonction est croissante : quand $x$ augmente, $f(x)$ augmente aussi ;
• si $a < 0$, la fonction est décroissante ;
• si $a = 0$, la fonction est constante et sa droite est horizontale.

Le nombre $b$ n'intervient pas : il translate la droite verticalement sans changer son inclinaison. Deux fonctions affines de même pente ont donc des droites parallèles.

Exemple. $f(x) = -x + 4$ est décroissante car $a = -1 < 0$, et sa droite est parallèle à celle de $g(x) = -x$.