Fonctions de référence (carré, inverse, racine carrée, valeur absolue)

Deux notations utiles

Avant d'étudier ces fonctions, deux notations reviennent sans cesse.

Les intervalles. Un intervalle décrit un ensemble de nombres compris entre deux bornes. Le crochet est tourné vers l'intérieur si la borne est incluse, vers l'extérieur si elle est exclue :

• $[0\,; +\infty[$ : tous les réels $x$ tels que $x \geq 0$ ($0$ inclus) ;
• $]0\,; +\infty[$ : tous les réels $x$ tels que $x > 0$ ($0$ exclu) ;
• $]-\infty\,; 0]$ : tous les réels $x$ tels que $x \leq 0$.

L'infini n'est jamais une valeur atteinte : son crochet est toujours tourné vers l'extérieur.

La parité. Une fonction $f$ est dite :

• paire si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ de son domaine ;
• impaire si $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$ de son domaine.

Une fonction paire donne la même image à deux nombres opposés ; une fonction impaire donne des images opposées. Beaucoup de fonctions ne sont ni l'une ni l'autre.

Fonction carré

La fonction carré est $f(x) = x^2$, définie sur $\mathbb{R}$.

Elle est paire, car $(-x)^2 = x^2$. Elle est décroissante sur $]-\infty\,; 0]$ et croissante sur $[0\,; +\infty[$. Son minimum vaut $0$, atteint en $x = 0$.

Exemple. $f(-3) = f(3) = 9$ : deux nombres opposés ont la même image, ce qui est exactement la parité.

Fonction inverse

La fonction inverse est $f(x) = \dfrac{1}{x}$, définie sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, c'est-à-dire sur tous les réels sauf $0$ : la division par $0$ est impossible.

Elle est impaire, car $\dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x}$. Elle est décroissante sur $]0\,; +\infty[$ et décroissante sur $]-\infty\,; 0[$, mais attention, pas sur la réunion des deux : la courbe « saute » en $0$.

Son comportement près des axes se décrit simplement : quand $x$ devient très grand, $f(x)$ s'approche de $0$ sans jamais l'atteindre ; quand $x$ s'approche de $0$, $|f(x)|$ devient arbitrairement grand. On dit que la courbe s'approche indéfiniment des deux axes, sans jamais les toucher.

Exemple. $f(2) = \dfrac{1}{2}$ et $f(-2) = -\dfrac{1}{2}$.

Racine carrée et valeur absolue

La fonction racine carrée $f(x) = \sqrt{x}$ est définie sur $[0\,; +\infty[$ seulement : un nombre négatif n'a pas de racine carrée réelle. Elle est croissante, avec $f(0) = 0$. Elle n'est ni paire ni impaire, puisque $f(-x)$ n'existe pas pour $x > 0$.

La valeur absolue $f(x) = |x|$ vaut $x$ si $x \geq 0$ et $-x$ si $x < 0$ : c'est la distance de $x$ à $0$, toujours positive ou nulle. Elle est paire, avec un minimum $0$ atteint en $x = 0$.

Exemple. $\sqrt{9} = 3$ et $|-4| = 4$.