Fonctions affines

Définition

Une fonction affine est une fonction de la forme :

Elle se calcule donc en deux temps : on multiplie $x$ par $a$, puis on ajoute $b$.

Les deux nombres $a$ et $b$ portent un nom :

• $a$ est le coefficient directeur (ou la pente) ;
• $b$ est l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire la valeur $f(0)$.

Exemple. Pour $f(x) = 2x - 3$, on a $a = 2$ et $b = -3$. En particulier $f(0) = -3$.

Une fonction linéaire est une fonction affine

Une fonction linéaire $f(x) = ax$ est le cas particulier $b = 0$ :

Toute fonction linéaire est donc affine, mais l'inverse est faux : $f(x) = 2x

• 3$est affine sans être linéaire, car$f(0) = -3 \neq 0$.

Le test est immédiat : une fonction affine est linéaire si et seulement si $f(0) = 0$.

Exemple. $f(x) = 5x$ est linéaire et affine. $g(x) = 5x + 1$ est affine seulement, car $g(0) = 1$.

Repérer $a$ et $b$, calculer une image

Pour identifier $a$ et $b$, on écrit la fonction sous la forme $ax + b$, au besoin en réordonnant les termes.

Exemple. $f(x) = 4 - x$ s'écrit $f(x) = -x + 4$ : ici $a = -1$ et $b = 4$.

Le calcul d'une image se fait comme pour toute fonction : on remplace $x$ par la valeur voulue.

Exemple. Pour $f(x) = -3x + 7$ :

Une erreur fréquente consiste à oublier $b$ et à ne calculer que $ax$. Un contrôle simple : $f(0)$ doit toujours redonner $b$.

La leçon suivante montre que la courbe d'une fonction affine est une droite, et comment la tracer à partir de $a$ et $b$.