numéro

Définition

La leçon sur la proportionnalité a montré qu'une situation proportionnelle s'écrit $y = kx$ . Cette écriture, vue comme une fonction, porte un nom.

Une fonction linéaire est de la forme :

f(x) = ax \quad (a \in \mathbb{R}).

Une fonction linéaire est donc exactement le modèle d'une situation de proportionnalité, et $a$ y joue le rôle du coefficient de proportionnalité.

Comme $f(0) = a \times 0 = 0$ , sa courbe passe toujours par l'origine $(0, 0)$ . C'est un contrôle utile : si la courbe ne passe pas par l'origine, la fonction n'est pas linéaire.

Exemple. $f(x) = 3x$ est linéaire avec $a = 3$ . On a $f(0) = 0$ et $f(2) = 6$ .

ExerciceÉtape 1/4

Définition d'une fonction linéaire

Une fonction linéaire s'écrit\dots

Le taux de variation

Le coefficient $a$ s'appelle la pente, ou le taux de variation. Il mesure de combien l'image varie quand l'abscisse augmente de $1$ :

f(x + 1) - f(x) = a(x + 1) - ax = a.

Ce nombre est le même partout sur la droite : c'est ce qui distingue une fonction linéaire d'une fonction quelconque. Plus généralement, entre deux abscisses $x_1$ et $x_2$ :

\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = a.

Le signe de $a$ donne le sens de variation : la droite monte si $a > 0$ , elle descend si $a < 0$ .

Attention. Une pente plus grande ne veut pas dire « des images plus grandes » : $f(x) = 3x$ et $g(x) = 0{,}5x$ valent toutes deux $0$ en $0$ , et $g$ dépasse $f$ pour les $x$ négatifs.

Laboratoire : faire varier la pente

Réglez la pente a. La droite pivote autour de l'origine : elle y passe quelle que soit la valeur de a.

Le petit escalier montre la règle de tracé : +1 en abscisse, +a en ordonnée. Utilisez les flèches du clavier après avoir sélectionné un curseur.

Pente a2

Équation : f(x) = 2x + 0 ; le point marqué est (0 ; 0), donc f(0) = 0. En avançant de 1 en abscisse, l'ordonnée varie de +2.

Pente positive : la droite monte, la fonction est croissante.

ExerciceÉtape 1/5

Le taux de variation

f(x) = 3x

Tracer une droite linéaire

Deux points distincts suffisent à déterminer une droite. Pour une fonction linéaire, le premier est offert : c'est l'origine $(0, 0)$ .

Pour le second, on applique le taux de variation : depuis $(0, 0)$ , on avance de $1$ en abscisse et de $a$ en ordonnée, ce qui donne $(1, a)$ .

Si $a$ n'est pas entier, il est plus commode d'avancer davantage. Pour $a = \frac{3}{4}$ , on avance de $4$ en abscisse et de $3$ en ordonnée, ce qui tombe sur un nœud du quadrillage.

Exemple. Pour $f(x) = 2x$ , on place $(0, 0)$ et $(1, 2)$ , puis on trace la droite passant par ces deux points.

À vous de tracer

Placez les deux points pour tracer la droite de f(x) = 2x. La droite grise suit vos deux points ; elle devient verte quand elle est correcte.

Faites glisser un point, ou sélectionnez-le au clavier puis déplacez-le avec les flèches. Les points se placent sur les nœuds du quadrillage.

Point 1 : (-3 ; -4) : il faudrait -6. Point 2 : (3 ; -4) : il faudrait 6.

Méthode : placez d'abord le point d'abscisse 0, dont l'ordonnée est b. Avancez ensuite de 1 en abscisse et de a en ordonnée pour le second point.

ExerciceÉtape 1/4

Tracer une droite linéaire

f(x) = 2x