Formule des sinus

Dans un triangle $ABC$, on garde les notations d'Al-Kashi : $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$, chaque côté en face du sommet du même nom.

Aire d'un triangle avec un sinus

Traçons la hauteur issue de $A$ : elle mesure $h = b \sin\widehat{C}$ (dans le triangle rectangle formé par la hauteur, $b$ est l'hypoténuse). L'aire vaut donc

En partant d'un autre sommet, on obtient de même $\mathcal{A} = \frac{1}{2}\, bc\sin\widehat{A} = \frac{1}{2}\, ac\sin\widehat{B}$.

La formule

Les trois expressions de l'aire sont égales. En divisant chacune par $\frac{1}{2}abc$, on obtient

Pour aller plus loin. La valeur commune de ces rapports est le diamètre $2R$ du cercle qui passe par les trois sommets (le cercle circonscrit, en pointillés sur la figure).

Exemple. $a = 6$, $\widehat{A} = 30°$, $\widehat{B} = 45°$. $\frac{b}{\sin 45°} = \frac{6}{\sin 30°} = 12$, donc $b = 12 \times \sin 45° = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49$.

Attention au piège. $a$ est le côté opposé à $\widehat{A}$, donc $[BC]$, pas $[AB]$. Mélanger $a$ avec $\sin\widehat{B}$ casse le rapport.

Quand l'utiliser ? Quand on connaît deux angles et un côté (le troisième angle vaut $180°$ moins les deux autres). Si on connaît deux côtés et l'angle entre eux, c'est Al-Kashi qu'il faut.