numéro

Un vecteur de l'espace se définit comme dans le plan (une direction, un sens, une norme), mais on repère maintenant les points avec trois coordonnées, dans un repère $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$ dont les trois axes sont perpendiculaires deux à deux :

$x$ l'abscisse, $y$ l'ordonnée, comme dans le plan ;
$z$ la cote : la hauteur, mesurée sur l'axe vertical.

\vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}.

La somme et la multiplication par un nombre se font coordonnée par coordonnée, comme dans le plan. La norme gagne un terme :

\lVert \vec{u} \rVert = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \qquad AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}.

Exemple. $A(1\,;\,0\,;\,2)$ et $B(3\,;\,1\,;\,0)$ : $\overrightarrow{AB}(2\,;\,1\,;\,-2)$ et $AB = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$ .

Vecteurs de l'espace

Trois coordonnées. La somme se calcule encore coordonnée par coordonnée ; le parallélogramme (en pointillés) est dans un plan de l'espace. Tournez la vue pour bien voir la profondeur.

Annulez la cote z de u et de v : les deux vecteurs restent dans le plan du sol (Oxy).

Tourner la vue0°

u = (2 ; 1 ; 1) · v = (0 ; 2 ; 1) · u + v = (2 ; 3 ; 2) · ‖u‖ = √6 ≈ 2,45.

Lire un dessin en perspective. Sur une feuille, un point de l'espace peut en cacher un autre. Tournez la vue : ce qui change de place sur le dessin quand on tourne n'est pas au même endroit dans l'espace.

Colinéaires, coplanaires

Deux vecteurs non nuls sont colinéaires s'il existe un nombre $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ : ils ont la même direction.
Trois vecteurs sont coplanaires si on peut les dessiner dans un même plan à partir d'un même point. Quand $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, cela veut dire qu'il existe deux nombres $\alpha$ et $\beta$ tels que $\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}$ .

Ce qui détermine un plan. Trois points non alignés, ou un point et deux vecteurs non colinéaires : il passe exactement un plan par eux.

Attention au piège. Les coordonnées d'un point et celles d'un vecteur s'écrivent de la même façon. $(2\,;\,1\,;\,1)$ pour $A$ est une position ; pour $\overrightarrow{OA}$ , un déplacement. Les opérations du plan (vecteurs du plan) restent valables : il s'ajoute une coordonnée, pas une nouvelle règle.

ExerciceÉtape 1/4

Coordonnées dans l'espace

Données de l'exercice

\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

\vec{u}