Droites et plans de l'espace : positions relatives
Deux droites
Dans le plan, deux droites sont parallèles ou sécantes. Dans l'espace s'ajoute un troisième cas.
- Parallèles : même direction (vecteurs directeurs colinéaires). Elles sont confondues ou n'ont aucun point commun.
- Sécantes : un seul point commun. Elles sont alors dans un même plan.
- Gauches : ni parallèles, ni sécantes. Aucun plan ne les contient toutes les deux. Pensez à une route et à un pont qui passe au-dessus sans la suivre.
Deux droites de l'espace
Dans l'espace, deux droites peuvent être parallèles, sécantes, ou gauches: ni l'un ni l'autre, parce qu'elles ne sont pas dans un même plan. Tournez la vue : des droites gauches semblent parfois se croiser sur le dessin, mais pas quand on change de point de vue.
En mode « Gauches », tournez la vue : le croisement apparent se déplace, il n'y a pas de vrai point commun.
parallèles : même direction, aucun point commun.
Une droite et un plan
La droite est contenue dans le plan, parallèle au plan (sans le toucher), ou sécante au plan (elle le traverse en un seul point).
Deux plans
Deux plans sont parallèles (confondus, ou sans point commun, comme le sol et le plafond) ou sécants : leur intersection est alors une droite, comme la ligne où deux pages d'un livre ouvert se rejoignent.
Attention au piège. « Elles ne se coupent pas » ne suffit pas pour dire « parallèles » : deux droites gauches ne se coupent pas non plus. Le parallélisme exige la même direction.
Un contrôle utile. Pour deux droites :
- vecteurs directeurs colinéaires → parallèles (ou confondues) ;
- sinon, elles sont sécantes ou gauches. Pour trancher, on cherche un point commun : c'est ce que la représentation paramétrique (leçon suivante) permet de faire par le calcul.
Parallèles, sécantes, gauches
Données de l'exercice
La droite rose passe par et suit l'axe des : tous ses points ont et . La droite jaune est verticale et passe par : tous ses points ont et .
Ces deux droites sont…