Représentation paramétrique d'une droite

Une droite de l'espace est donnée par un point $A$ et un vecteur directeur $\vec{d} \neq \vec{0}$. Un point $M$ est sur la droite exactement quand $\overrightarrow{AM}$ est colinéaire à $\vec{d}$, c'est-à-dire quand il existe un nombre $t$ tel que $\overrightarrow{AM} = t\vec{d}$.

En coordonnées, avec $A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)$ et $\vec{d}(a\,;\,b\,;\,c)$ :

Chaque valeur de $t$ donne un point de la droite : $t = 0$ donne $A$, $t = 1$ donne le point au bout de la flèche $\vec{d}$, et $t < 0$ part dans l'autre sens.

Écrire une représentation à partir de deux points. Pour la droite $(AB)$ avec $A(1\,;\,0\,;\,2)$ et $B(3\,;\,1\,;\,0)$, on prend $\vec{d} = \overrightarrow{AB}(2\,;\,1\,;\,-2)$ :

Tester si un point est sur la droite. On cherche un $t$ qui marche pour les trois équations à la fois. $C(5\,;\,2\,;\,-2)$ : $5 = 1 + 2t$ donne $t = 2$ ; puis $y = 2$ ✓ et $z = 2 - 4 = -2$ ✓. Le même $t$ convient partout : $C$ est sur la droite. Pour $D(5\,;\,2\,;\,0)$, $t = 2$ donne $z = -2 \neq 0$ : $D$ n'est pas sur la droite.

Attention au piège. Trouver un $t$ qui marche pour une seule équation ne suffit pas : il faut le même $t$ pour $x$, $y$ et $z$.

Un contrôle utile. Une même droite a plusieurs représentations : on peut partir d'un autre point de la droite, ou prendre un autre vecteur directeur colinéaire à $\vec{d}$ (par exemple $2\vec{d}$). Les formules changent, la droite reste la même.