Produit scalaire dans l'espace et orthogonalité

Le produit scalaire, avec une coordonnée de plus

Pour $\vec{u}(x\,;\,y\,;\,z)$ et $\vec{v}(x'\,;\,y'\,;\,z')$ :

Comme dans le plan (produit scalaire), on a aussi $\vec{u}\cdot\vec{v} = \lVert \vec{u} \rVert \, \lVert \vec{v} \rVert \cos\theta$, où $\theta$ est l'angle entre les deux vecteurs dessinés à partir d'un même point (deux vecteurs partant d'un même point sont toujours dans un même plan). Et $\vec{u}\cdot\vec{u} = \lVert \vec{u} \rVert^2 = x^2 + y^2 + z^2$.

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux exactement quand $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$.

Droites orthogonales

Deux droites de l'espace sont orthogonales quand leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux : même si elles ne se coupent pas. Par exemple, une arête verticale d'un cube et une arête horizontale du dessus qui ne la touche pas sont orthogonales. Quand elles se coupent en plus, on dit qu'elles sont perpendiculaires.

Droite orthogonale à un plan

Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan. Il suffit de le vérifier pour deux droites sécantes du plan :

Un vecteur directeur d'une droite orthogonale au plan s'appelle un vecteur normal au plan. Il servira à écrire l'équation d'un plan (leçon suivante).

Projeté orthogonal sur un plan

Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur un plan $\mathcal{P}$ est le point $H$ du plan tel que $(MH)$ est orthogonale au plan : le pied de la perpendiculaire, l'ombre de $M$ quand la lumière tombe à la verticale du plan. $MH$ est la plus petite distance de $M$ à un point du plan.

Attention au piège. Deux droites orthogonales ne se coupent pas forcément. Et pour qu'une droite soit orthogonale à un plan, une seule droite du plan ne suffit pas : il en faut deux sécantes.

Un contrôle utile. $\vec{\imath}(1\,;\,0\,;\,0)$, $\vec{\jmath}$ et $\vec{k}$ sont deux à deux orthogonaux : $\vec{\imath}\cdot\vec{\jmath} = 0$, etc. L'axe $(Oz)$ est orthogonal au plan du sol $(Oxy)$, car il est orthogonal à $(Ox)$ et à $(Oy)$, qui sont sécantes.