Équation cartésienne d'un plan

Un plan est déterminé par un point $A$ et un vecteur normal $\vec{n}$ (un vecteur orthogonal au plan, voir la leçon précédente).

D'où vient l'équation. Un point $M$ est dans le plan exactement quand $\overrightarrow{AM}$ est « couché » dans le plan, c'est-à-dire orthogonal à $\vec{n}$ :

Avec $\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)$, $A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)$ et $M(x\,;\,y\,;\,z)$ : $a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$. En développant, on obtient une équation de la forme

avec $(a\,;\,b\,;\,c) \neq (0\,;\,0\,;\,0)$ : c'est une équation cartésienne du plan. Les trois premiers coefficients donnent un vecteur normal.

Exemple : trouver $d$. Plan passant par $A(1\,;\,2\,;\,0)$, de vecteur normal $\vec{n}(2\,;\,-1\,;\,3)$. L'équation est $2x - y + 3z + d = 0$. Comme $A$ est dans le plan : $2 \times 1 - 2 + 3 \times 0 + d = 0$, donc $d = 0$. Le plan a pour équation $2x - y + 3z = 0$.

Plans particuliers. Le plan horizontal de hauteur $1$ est $z = 1$, soit $0x + 0y + 1z - 1 = 0$ : son vecteur normal est $\vec{k}$, vertical. Le plan du sol est $z = 0$.

Attention au piège. $ax + by + c = 0$ (deux variables) est une droite du plan. Dans l'espace, une équation avec $x$, $y$, $z$ décrit un plan. Et multiplier toute l'équation par un même nombre non nul donne le même plan.

Un contrôle utile. Un point est dans le plan exactement quand ses coordonnées vérifient l'équation : on remplace et on regarde si l'on trouve $0$.