Distance d'un point à un plan

La distance d'un point $M_0$ à un plan $\mathcal{P}$ est la longueur $M_0H$, où $H$ est le projeté orthogonal de $M_0$ sur le plan (le pied de la perpendiculaire). C'est la plus courte distance de $M_0$ à un point du plan.

Pour le plan $ax + by + cz + d = 0$ et $M_0(x_0\,;\,y_0\,;\,z_0)$ :

D'où vient la formule. Le vecteur $\overrightarrow{HM_0}$ est colinéaire au vecteur normal $\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)$. Donc $|\vec{n}\cdot\overrightarrow{HM_0}| = \lVert \vec{n} \rVert \times HM_0$ (le cosinus vaut $\pm 1$). Or, comme $H$ est dans le plan, $ax_H + by_H + cz_H = -d$, et $\vec{n}\cdot\overrightarrow{HM_0} = ax_0 + by_0 + cz_0 + d$. En divisant par $\lVert \vec{n} \rVert = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, on obtient la formule.

Exemple. $M(1\,;\,2\,;\,3)$ et le plan $2x - y + 2z - 3 = 0$. Numérateur : $|2 - 2 + 6 - 3| = 3$. Dénominateur : $\sqrt{4 + 1 + 4} = 3$. Distance : $1$.

Attention au piège. Ce n'est pas la différence de cotes en général : cela ne marche que pour un plan horizontal $z = k$. Et il ne faut pas oublier de diviser par la norme du vecteur normal.

Un contrôle utile. La distance est nulle exactement quand le point est dans le plan (le numérateur s'annule). Si l'on multiplie toute l'équation par $2$, le numérateur et le dénominateur sont tous les deux multipliés par $2$ : la distance ne change pas.