Cosinus, sinus et tangente dans le triangle rectangle

On travaille dans un triangle $ABC$ rectangle en $C$, et on regarde l'angle aigu $\widehat{A}$. Par rapport à cet angle, les trois côtés ont un nom :

• l'hypoténuse $[AB]$, opposée à l'angle droit, toujours le plus long ;
• le côté opposé $[BC]$, en face de $\widehat{A}$, il ne passe pas par $A$ ;
• le côté adjacent $[AC]$ : il part de $A$, sans être l'hypoténuse.

Pourquoi ça marche. Prenez deux triangles rectangles qui ont le même angle $\widehat{A}$ : l'un est un agrandissement de l'autre (c'est la configuration de Thalès). Toutes les longueurs sont multipliées par le même nombre, donc le quotient de deux côtés ne change pas. Ce quotient ne dépend que de l'angle : on peut lui donner un nom.

Les trois rapports s'appellent cosinus, sinus et tangente :

On les lit sur le triangle, on ne les apprend pas comme une liste. Le cercle où le même cosinus devient une abscisse vient plus tard, en analyse : cercle trigonométrique.

Attention au piège. Opposé et adjacent dépendent de l'angle. Pour $\widehat{B}$, ils s'échangent ; l'hypoténuse, elle, reste $[AB]$. Écrire $\cos =$ opposé / hypoténuse inverse sinus et cosinus.

Un contrôle utile. Posez le doigt sur le sommet de l'angle choisi. Deux côtés partent de ce sommet : l'hypoténuse et l'adjacent. Le côté qui ne passe pas par ce sommet est l'opposé.

Limite. Ces rapports n'ont de sens que dans un triangle rectangle, et seulement pour un angle aigu. Un angle obtus, ou un triangle quelconque, attend Al-Kashi au lycée.