Calculer une longueur ou un angle

Une fois les trois rapports nommés, on s'en sert. Connaître un angle aigu et un côté du triangle rectangle suffit pour calculer les deux autres. Connaître deux côtés suffit pour calculer l'angle.

Dans tous les exemples, $ABC$ est rectangle en $C$ et on regarde l'angle $\widehat{A}$. La calculatrice doit être réglée en degrés.

Calculer une longueur

Méthode.

1. Repérez les deux côtés en jeu : celui qu'on connaît, celui qu'on cherche.
2. Choisissez le rapport qui contient exactement ces deux côtés (cosinus : adjacent et hypoténuse ; sinus : opposé et hypoténuse ; tangente : opposé et adjacent).
3. Écrivez l'égalité, puis isolez le côté cherché.

Exemple 1 : on multiplie. $AB = 10$ (hypoténuse), $\widehat{A} = 30°$, on cherche $BC$ (opposé). Opposé et hypoténuse : sinus. $\sin 30° = \frac{BC}{10}$, donc $BC = 10 \times \sin 30°$. La calculatrice donne $\sin 30° = 0{,}5$, donc $BC = 5$.

Exemple 2 : on divise. $AC = 4$ (adjacent), $\widehat{A} = 30°$, on cherche $AB$ (hypoténuse). Adjacent et hypoténuse : cosinus. $\cos 30° = \frac{4}{AB}$. L'inconnue est en bas : on échange $AB$ et $\cos 30°$, ce qui donne $AB = \frac{4}{\cos 30°} \approx \frac{4}{0{,}866} \approx 4{,}62$.

Exemple 3 : la tangente. $AC = 6$ (adjacent), $\widehat{A} = 40°$, on cherche $BC$ (opposé). Opposé et adjacent : tangente. $\tan 40° = \frac{BC}{6}$, donc $BC = 6 \times \tan 40° \approx 6 \times 0{,}839 \approx 5{,}03$.

Un contrôle utile. L'opposé et l'adjacent sont toujours plus petits que l'hypoténuse. Un résultat plus grand que l'hypoténuse signale qu'on a divisé à l'envers, ou utilisé le mauvais rapport.

Calculer un angle

Quand on connaît deux côtés, on calcule d'abord le rapport, puis on demande à la calculatrice quel angle a ce cosinus (ou ce sinus, cette tangente). C'est la touche « $\cos^{-1}$ » (parfois notée « Arccos » ou « Acs »), et de même « $\sin^{-1}$ », « $\tan^{-1}$ ».

Exemple 4. $AC = 5$ (adjacent) et $AB = 8$ (hypoténuse). $\cos \widehat{A} = \frac{5}{8} = 0{,}625$, et la touche $\cos^{-1}$ donne $\widehat{A} \approx 51{,}3°$.

Attention au piège. Multiplier l'hypoténuse par l'angle en degrés ($10 \times 30$) n'a aucun sens : l'angle entre dans un sinus, un cosinus ou une tangente. Et $\cos^{-1}$ ne veut pas dire $\frac{1}{\cos}$ : c'est « l'angle dont le cosinus vaut… ».