Réciproque de Thalès

Cette fois on ne suppose plus la parallèle. $D$ est sur $[AB]$, $E$ sur $[AC]$. Si les rapports depuis $A$ sont égaux,

alors $(DE) \parallel (BC)$.

Attention au piège. L'égalité $AD = AE$ ne dit rien : les côtés $[AB]$ et $[AC]$ n'ont pas la même longueur. C'est le rapport qui compte. Et comparer $AD/DB$ à $AE/AC$ mélange deux découpages : la réciproque, telle qu'écrite au collège, aligne les mêmes « depuis $A$ ».

Un contrôle utile. Calculer $AD/AB$ et $AE/AC$ (ou $AD/DB$ et $AE/EC$, même proportion). S'ils coïncident, le widget allume la parallèle. Sinon, $(DE)$ penche.

Limite. Si $D$ et $E$ sont de l'autre côté de $A$ (les deux triangles se touchent par leur sommet $A$, configuration dite « papillon »), le théorème reste vrai, mais il faut vérifier en plus que les points sont dans le même ordre sur les deux droites. Ici on reste dans le triangle.