Théorème de Thalès

Dans un triangle $ABC$, une droite parallèle à $(BC)$ coupe $[AB]$ en $D$ et $[AC]$ en $E$. Alors les rapports des longueurs « depuis $A$ » sont égaux, et égaux au rapport des bases :

Sans parallèle, ces trois nombres n'ont aucune raison de coïncider.

Exemple rédigé. $AD = 2$, $AB = 6$, $DE = 4$, et $(DE) \parallel (BC)$. On cherche $BC$. D'après Thalès, $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Donc $\frac{4}{BC} = \frac{1}{3}$ : $BC$ est trois fois plus grand que $4$, soit $BC = 12$. (On peut aussi faire un « produit en croix » : $BC \times 1 = 4 \times 3$.)

Attention au piège. Thalès compare des rapports, pas des différences. $AD = 2$ et $AB = 6$ donnent $\frac{1}{3}$, pas $AB - AD = 4$. Écrire $AD = AE$ parce que $(DE) \parallel (BC)$ est faux dès que les deux côtés n'ont pas la même longueur.

Un contrôle utile. Dans chaque fraction, le petit triangle $ADE$ est en haut et le grand triangle $ABC$ en bas : $\frac{AD}{AB}$, $\frac{AE}{AC}$, $\frac{DE}{BC}$. Ne mélangez pas avec $DB$, qui n'est un côté d'aucun des deux triangles.

Limite. Le théorème exige la parallèle. Deux points $D$ et $E$ pris au hasard sur les côtés ne suffisent pas : c'est précisément ce que la réciproque (leçon suivante) permet de tester.