Réciproque de Pythagore

Le théorème suppose l'angle droit et conclut $a^2 + b^2 = c^2$. La réciproque inverse le sens : on part des longueurs, on conclut l'angle.

Si, dans un triangle de côtés $a$, $b$, $c$ (avec $c$ le plus grand),

alors le triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au côté $c$.

Attention au piège. Vérifier $a^2 + b^2 = c^2$ sans avoir identifié le plus grand côté, c'est tester le mauvais angle. $3^2 + 5^2 = 34 \neq 4^2$ : ce n'est pas un contre-exemple au $3$-$4$-$5$, c'est $5$ qu'il fallait mettre en $c$.

Un contrôle utile. Calculer les trois carrés. Si la somme des deux petits égale le grand, le triangle est rectangle, et l'angle droit est en face du grand côté.

Et si l'égalité est fausse ? Alors le triangle n'est pas rectangle. Ce n'est pas la réciproque qui le dit, mais le théorème de Pythagore lui-même : s'il y avait un angle droit, l'égalité serait vraie. Comme elle est fausse, il n'y a pas d'angle droit.

Exemple complet. Côtés $6$, $8$, $10$. Le plus grand est $10$ : $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$, donc rectangle. Côtés $4$, $5$, $6$ : $4^2 + 5^2 = 41 \neq 36 = 6^2$, donc pas rectangle.