Variance et écart-type

Mesurer les écarts à la moyenne

La moyenne indique le centre d'une série, mais elle ne décrit pas la manière dont les valeurs sont réparties autour de ce centre. Les séries A : $9$, $10$, $11$ et B : $2$, $10$, $18$ ont la même moyenne $10$, et pourtant elles ne se ressemblent pas du tout.

Pour mesurer cette dispersion, on étudie les écarts $x_i-\bar{x}$. Leur somme est toujours nulle : les écarts positifs et négatifs se compensent exactement. Une moyenne des écarts serait donc toujours nulle, et ne mesurerait rien. On utilise pour cette raison leurs carrés, qui sont tous positifs.

Variance d'une série

La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :

Si les valeurs $x_i$ ont pour effectifs $n_i$ et si $N=\sum_i n_i$, alors :

Exemple. Pour la série $2$, $4$, $6$, la moyenne vaut $4$, donc

La variance est toujours positive ou nulle, puisqu'elle est une moyenne de carrés. Elle est nulle uniquement lorsque toutes les valeurs sont égales : une variance nulle signifie donc qu'il n'y a aucune dispersion.

Attention à l'unité. Comme on a élevé les écarts au carré, la variance s'exprime dans l'unité des données au carré : des euros carrés, des minutes carrées. Ce nombre n'est donc pas directement interprétable, ce qui motive l'étape suivante.

De la variance à l'écart-type

Pour revenir à l'unité des données, on prend la racine carrée de la variance. Le résultat s'appelle l'écart-type, noté $\sigma$ :

Pour la série $2$, $4$, $6$ :

L'écart-type mesure donc la dispersion des valeurs autour de la moyenne, dans la même unité qu'elles : plus $\sigma$ est grand, plus les valeurs sont dispersées. Un écart-type nul signifie que toutes les valeurs sont égales.

Contrôle utile. L'écart-type doit rester du même ordre de grandeur que les écarts que l'on observe « à l'œil » dans la série. Pour $2$, $4$, $6$, les écarts à la moyenne valent $2$, $0$ et $2$ : un écart-type d'environ $1{,}6$ est plausible. Un résultat de $8$ ou de $0{,}01$ signalerait une erreur, souvent l'oubli de la racine carrée ou une division par le mauvais effectif.

Interpréter et comparer des écarts-types

L'écart-type utilise toutes les valeurs : une seule donnée très éloignée suffit à le faire beaucoup augmenter. Il faut donc l'interpréter avec la moyenne et, si une valeur extrême est présente, le compléter par la médiane et l'écart interquartile, qui ne dépendent pas des extrêmes.

Comparer deux écarts-types suppose d'abord que les deux séries soient exprimées dans la même unité : comparer des euros et des minutes n'a pas de sens. Cela ne suffit pas toujours. Un écart-type de $5$ cm n'a pas la même portée selon qu'il décrit des tailles d'adultes ou des longueurs de vis : l'ordre de grandeur des valeurs et le contexte comptent tout autant.

Exemple. Les séries A : $9$, $10$, $11$ et B : $2$, $10$, $18$ ont toutes deux pour moyenne $10$, mais les valeurs de B sont beaucoup plus dispersées : son écart-type est plus grand. C'est exactement l'information que la moyenne seule ne donnait pas.