Quartiles

Repérer les quartiles

Les quartiles sont des valeurs qui découpent une série statistique en quatre parts. Avant de les chercher, il faut toujours ordonner les valeurs dans l'ordre croissant, en conservant les répétitions.

Une fois la série ordonnée, la méthode tient en deux phrases, sans aucune notation :

• pour $Q_1$, on divise l'effectif par $4$, on arrondit au nombre entier supérieur, et on prend la valeur qui occupe ce rang ;
• pour $Q_3$, on multiplie l'effectif par $3$, on divise par $4$, on arrondit de la même façon, et on lit la valeur à ce rang.

« Arrondir au nombre entier supérieur » signifie que $1{,}75$ devient $2$ et que $5{,}25$ devient $6$. Un rang doit être un nombre entier, et les rangs commencent à $1$, pas à $0$. Si le résultat de la division est déjà entier, on le garde tel quel.

Cette méthode s'écrit de façon abrégée, avec le symbole $\lceil x\rceil$ qui note justement cet arrondi à l'entier supérieur :

Cette écriture est la convention scolaire française ; d'autres conventions existent, notamment dans les logiciels de calcul.

Exemple. On ordonne la série $12$, $5$, $9$, $7$, $15$, $8$, $10$, $6$ :

Ici, $n=8$. Les rangs cherchés sont $\left\lceil\frac{8}{4}\right\rceil=2$ et $\left\lceil\frac{24}{4}\right\rceil=6$. Ainsi, $Q_1=6$ et $Q_3=10$.

Interpréter $Q_1$ et $Q_3$

Ces deux valeurs ne se contentent pas de découper la série : elles se lisent comme des seuils.

Le premier quartile $Q_1$ vérifie :

• au moins $25\%$ des valeurs sont inférieures ou égales à $Q_1$ ;
• au moins $75\%$ des valeurs sont supérieures ou égales à $Q_1$.

De même, le troisième quartile $Q_3$ vérifie :

• au moins $75\%$ des valeurs sont inférieures ou égales à $Q_3$ ;
• au moins $25\%$ des valeurs sont supérieures ou égales à $Q_3$.

Ces proportions ne sont pas forcément exactes, notamment lorsque l'effectif n'est pas un multiple de $4$ ou lorsque certaines valeurs sont répétées. C'est la raison de la formule « au moins ».

Sur l'exemple précédent, $Q_1=6$ : au moins un quart des huit valeurs, soit au moins deux d'entre elles, sont inférieures ou égales à $6$. C'est bien le cas, puisque $5$ et $6$ le sont.

Exemple. Si le troisième quartile des temps de trajet est $28$ minutes, alors au moins $75\%$ des trajets durent au plus $28$ minutes.

Mesurer la dispersion centrale

L'intervalle $[Q_1;Q_3]$ contient la moitié centrale de la série, au sens des quartiles. Sa largeur est appelée écart interquartile, souvent noté IQR :

Plus l'écart interquartile est petit, plus les valeurs centrales sont resserrées. Il est peu sensible aux valeurs très petites ou très grandes, car il dépend seulement de $Q_1$ et de $Q_3$.

Dans l'exemple précédent :

La moitié centrale des valeurs s'étend donc sur un intervalle de largeur $4$.