Moyenne

Calculer une moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique partage équitablement le total des valeurs entre toutes les données. Pour une série de $n$ valeurs $x_1,x_2,\ldots,x_n$, elle est notée $\bar{x}$ et se calcule par :

Il faut donc suivre deux étapes : additionner toutes les valeurs, puis diviser par leur nombre.

Exemple. Pour les quatre durées $8$, $11$, $13$ et $16$ minutes :

La moyenne a la même unité que les données. Elle n'est pas nécessairement une valeur observée dans la série.

Tenir compte des effectifs

Dans un tableau, une même valeur peut apparaître plusieurs fois. Si la valeur $x_i$ a pour effectif $n_i$, elle contribue $n_i x_i$ au total. La moyenne pondérée par les effectifs est alors :

Exemple. Cinq livres coûtent $8$ €, trois coûtent $12$ € et deux coûtent $15$ €. Le prix moyen est :

On divise par l'effectif total $N$, et non par le nombre de valeurs distinctes. Une fréquence peut aussi servir de poids : si les fréquences $f_i$ ont pour somme $1$, alors $\bar{x}=\sum f_i x_i$.

Interpréter et anticiper

La moyenne est une valeur d'équilibre : les écarts situés au-dessus et au-dessous de $\bar{x}$ se compensent. Ainsi, $\sum(x_i-\bar{x})=0$. Elle donne un niveau global utile pour comparer des séries, mais elle ne décrit ni toutes les valeurs ni leur dispersion.

Quelques repères permettent de vérifier ou d'anticiper un résultat :

• la moyenne est comprise entre la plus petite et la plus grande valeur ;
• ajouter la même quantité à chaque valeur ajoute cette quantité à la moyenne ;
• remplacer une valeur par une valeur plus grande fait augmenter la moyenne ;
• une valeur très éloignée peut déplacer fortement la moyenne.

Sensibilité aux valeurs extrêmes

La moyenne utilise toutes les données : elle est donc sensible aux valeurs extrêmes. Par exemple, les salaires $1\,800$, $1\,900$, $2\,000$ et $2\,100$ € ont pour moyenne $1\,950$ €. Avec un salaire de $12\,000$ €, la moyenne des cinq salaires devient $3\,960$ €, alors que quatre salaires sur cinq restent proches de $2\,000$ €.

La moyenne n'est pas fausse, mais elle peut être peu représentative d'une valeur « typique ». Il faut alors regarder la série complète et la compléter par un indicateur moins sensible, comme la médiane.