Médiane

Repérer le centre d'une série

La médiane est un indicateur de position : elle décrit le centre d'une série statistique. Pour la déterminer, il faut toujours commencer par ranger les valeurs dans l'ordre croissant, sans oublier les répétitions.

Exemple. La série $12$, $7$, $9$, $7$, $15$ devient :

La valeur centrale ne se repère donc pas dans l'ordre où les données ont été relevées.

Calculer la médiane

La méthode dépend de l'effectif total $n$.

Effectif impair

Si $n$ est impair, la médiane est l'unique valeur centrale. Son rang est :

Exemple. Dans la série ordonnée $4$, $6$, $8$, $11$, $14$, $n=5$. La médiane est la valeur de rang $\frac{5+1}{2}=3$, donc $8$.

Effectif pair

Si $n$ est pair, il n'y a pas une seule valeur centrale. Dans ce cours, on prend comme médiane la moyenne des deux valeurs centrales, situées aux rangs $\frac n2$ et $\frac n2+1$.

Exemple. Dans la série ordonnée $3$, $5$, $10$, $14$, $18$, $21$, les deux valeurs centrales sont $10$ et $14$. Ainsi :

Interpréter la médiane

Une médiane $m$ partage une série ordonnée en deux moitiés : au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à $m$, et au moins la moitié sont supérieures ou égales à $m$.

Par exemple, une médiane de $12$ minutes signifie qu'au moins la moitié des durées observées ne dépassent pas $12$ minutes et qu'au moins la moitié sont au moins égales à $12$ minutes. Elle ne signifie pas que toutes les durées sont proches de $12$ minutes.

Résister aux valeurs extrêmes

La médiane dépend surtout de l'ordre des valeurs, pas de la distance qui les sépare. Remplacer la plus grande valeur $13$ par $40$ dans la série $3$, $5$, $7$, $9$, $13$ ne change pas la valeur centrale : la médiane reste $7$. La moyenne, elle, augmente fortement.

On dit donc que la médiane est robuste aux valeurs extrêmes. Elle est souvent utile pour résumer des revenus, des prix ou des durées contenant quelques valeurs exceptionnellement grandes ou petites.

Ce n'est pas un défaut de la moyenne : chacune répond à une question différente. La moyenne est l'indicateur à utiliser dès qu'on raisonne sur un total à partager ; la médiane est celui qui décrit une valeur « habituelle » malgré quelques cas exceptionnels.