numéro

Probabilité conditionnelle

La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ , notée $\mathbb{P}_B(A)$ ou $\mathbb{P}(A \mid B)$ , mesure la probabilité que $A$ se produise quand on sait déjà que $B$ s'est produit.

Ces deux notations désignent exactement la même probabilité. On ne considère plus tout l'univers, seulement les issues de $B$ . Quand $\mathbb{P}(B)>0$ :

\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}.

Le numérateur correspond aux issues où $A$ et $B$ se produisent ensemble ; le dénominateur, à toutes les issues encore possibles une fois $B$ connu.

Exemple. On tire une carte dans un jeu de $52$ cartes. $B$ = « la carte est un cœur » et $A$ = « la carte est un as ».

\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{1}{13}

car parmi les $13$ cœurs, un seul est un as.

ExerciceÉtape 1/4

Comprendre une probabilité conditionnelle

\mathbb{P}(A \mid B)

La formule du produit

Quand $\mathbb{P}(B) > 0$ :

\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(B) \times \mathbb{P}(A \mid B).

Exemple. Urne : $3$ boules rouges et $2$ bleues. On tire deux boules sans remise. $B$ = « la première est rouge », $A$ = « la seconde est rouge ».

\mathbb{P}(B) = \frac{3}{5}, \quad \mathbb{P}(A \mid B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.

\mathbb{P}(A \cap B) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}.

ExerciceÉtape 1/4

Formule du produit

\mathbb{P}(A \cap B)

Calculer $\mathbb{P}(A \mid B)$

On utilise la définition :

\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} \quad \text{(si } \mathbb{P}(B) > 0\text{)}.

Exemple. On lance deux dés. $B$ = « la somme vaut $7$ » ( $6$ issues), $A$ = « le premier dé montre $1$ » ( $1$ issue commune).

\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{1}{6}.

ExerciceÉtape 1/4

Calculer une probabilité conditionnelle

\mathbb{P}(A \mid B)

Probabilité conditionnelle

Comprendre une probabilité conditionnelle

La formule du produit

Formule du produit

Calculer P(A∣B)\mathbb{P}(A \mid B)P(A∣B)

Calculer une probabilité conditionnelle

Calculer $\mathbb{P}(A \mid B)$