ThèmeProbabilités

Expériences à deux épreuves (arbres)

Expérience à deux épreuves

Quand une expérience comporte deux épreuves successives, l'univers contient toutes les paires de résultats possibles.

Exemple : deux lancers de pièce. Chaque lancer donne pile ou face. L'univers contient 2×2=42 \times 2 = 4 issues : (pile, pile), (pile, face), (face, pile), (face, face).

ExerciceÉtape 1/4

Univers à deux épreuves

Une expérience à deux épreuves successives produit…

L'arbre de probabilités

On représente toutes les issues possibles avec un arbre de probabilités : chaque branche porte une probabilité, et chaque chemin de la racine à une feuille correspond à une issue.

Exemple. Deux lancers de pièce équilibrée : chaque branche vaut 12\frac{1}{2}. L'arbre possède 44 chemins complets de probabilité 14\frac{1}{4} chacun. On relance la même pièce dans les mêmes conditions : le résultat du premier lancer ne modifie pas le second.

Arbre de probabilités de deux lancers de pièceLe premier lancer mène à pile ou face, puis chaque résultat mène de nouveau à pile ou face. Chaque branche a une probabilité de un demi et chaque chemin complet une probabilité de un quart.départpilefacepile, pile : 1/4pile, face : 1/4face, pile : 1/4face, face : 1/41/21/21/21/21/21/2
Arbre de deux lancers d'une pièce équilibrée

Pour lire un chemin, on part de la gauche et on suit les branches jusqu'à une issue. Le chemin « pile puis face », par exemple, correspond à la branche « pile » du premier lancer, puis à la branche « face » du second.

ExerciceÉtape 1/4

Lire un arbre de probabilités

Un arbre de probabilités sert à…

Produit le long d'un chemin

La probabilité d'un chemin complet est le produit des probabilités le long des branches :

P(chemin)=P1×P2.\mathbb{P}(\text{chemin}) = \mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2.

Exemple : deux lancers de pièce. Chaque lancer : pile ou face avec probabilité 12\frac{1}{2}.

P(pile puis face)=12×12=14.\mathbb{P}(\text{pile puis face}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.

Additionner plusieurs chemins

Un événement peut correspondre à plusieurs chemins. Comme deux chemins distincts ne peuvent pas se réaliser en même temps, on additionne leurs probabilités.

Exemple. « Obtenir au moins une fois pile » correspond aux trois chemins (pile, pile), (pile, face) et (face, pile) :

P(au moins une fois pile)=14+14+14=34.\mathbb{P}(\text{au moins une fois pile}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.
ExerciceÉtape 1/4

Produits et sommes dans un arbre

La probabilité d'un chemin complet se calcule en…