Événements incompatibles

Événements incompatibles

Deux événements sont incompatibles (ou disjoints) s'ils ne peuvent pas se produire en même temps : leur intersection est vide, notée $A \cap B = \emptyset$.

Exemple. On lance un dé. $A$ = « obtenir un $2$ » et $B$ = « obtenir un $5$ » sont incompatibles : une seule face est visible à chaque lancer.

Attention. Incompatible ne signifie pas toujours contraire. « Obtenir un $2$ » et « obtenir un $5$ » sont incompatibles, mais ni l'un ni l'autre ne se produit à coup sûr. En revanche, pile et face au lancer d'une pièce sont à la fois incompatibles et contraires.

Probabilité de l'union

L'union $A \cup B$ regroupe les issues qui appartiennent à $A$, à $B$, ou aux deux. Quand $A$ et $B$ sont incompatibles, aucune issue n'est comptée deux fois.

Exemple. $A = \{2\}$ et $B = \{5\}$ donnent $A \cup B = \{2, 5\}$ : deux issues distinctes.

Additionner les probabilités

Pour des événements incompatibles, la probabilité de l'union est la somme des probabilités :

Exemple. On lance un dé. $A$ = « obtenir un $2$ », $B$ = « obtenir un $5$ » :

Si les événements sont compatibles

Si $A$ et $B$ peuvent se produire ensemble, les issues de $A\cap B$ sont comptées une fois dans $\mathbb{P}(A)$ et une seconde fois dans $\mathbb{P}(B)$. On les soustrait donc une fois :

Pour des événements incompatibles, $\mathbb{P}(A\cap B)=0$ : on retrouve alors la formule précédente.