numéro

Définition de l'indépendance

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre :

\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}(B).

Exemple. Deux lancers d'une pièce équilibrée. $A$ = « pile au 1er lancer », $B$ = « face au 2e lancer ».

\mathbb{P}(A \cap B) = \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}(B).

Les deux lancers sont indépendants.

ExerciceÉtape 1/4

Définition de l'indépendance

A

Indépendance et probabilité conditionnelle

Quand $A$ et $B$ sont indépendants et $\mathbb{P}(B) > 0$ :

\mathbb{P}(A \mid B) = \mathbb{P}(A).

Savoir que $B$ s'est produit ne change rien à la probabilité de $A$ .

Exemple. Lancer un dé et une pièce en même temps. $A$ = « obtenir un $6$ », $B$ = « obtenir pile ».

\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{1}{6} = \mathbb{P}(A).

ExerciceÉtape 1/4

Tester l'indépendance

A

Reconnaître l'indépendance

Deux épreuves sans lien (deux pièces, dé + pièce) donnent souvent des événements indépendants. En revanche, deux tirages sans remise dans la même urne créent en général une dépendance.

Exemple : dépendance. Urne : $2$ rouges, $3$ bleues, deux tirages sans remise. « 1re rouge » et « 2e rouge » ne sont pas indépendants : après une première rouge, il reste moins de rouges.

ExerciceÉtape 1/4

Indépendance ou dépendance ?

Deux tirages sans remise dans la même urne donnent en général\dots