Formule des probabilités totales

Partition de l'univers

Une famille d'événements $B_1, B_2, \ldots, B_n$ forme une partition de l'univers si :

• les $B_i$ sont deux à deux incompatibles ;
• leur réunion recouvre tout l'univers.

Exemple. Lancer un dé : $B_1$ = « obtenir $1$ ou $2$ », $B_2$ = « obtenir $3$, $4$ ou $5$ », $B_3$ = « obtenir $6$ ». Les trois événements partitionnent l'univers.

La formule des probabilités totales

Pour tout événement $A$ et toute partition $(B_i)$ :

Exemple. Usine avec deux machines $M_1$ et $M_2$ ($\mathbb{P}(M_1)=0{,}6$, $\mathbb{P}(M_2)=0{,}4$). Probabilité de pièce défectueuse sachant la machine : $\mathbb{P}(D \mid M_1)=0{,}02$, $\mathbb{P}(D \mid M_2)=0{,}05$.

Utiliser un arbre pondéré

Un arbre pondéré à deux niveaux (partition puis événement $A$) permet de lire chaque produit $\mathbb{P}(B_i) \times \mathbb{P}(A \mid B_i)$ sur un chemin, puis d'additionner les chemins menant à $A$.

Exemple. Test médical : $\mathbb{P}(\text{malade}) = 0{,}1$, $\mathbb{P}(\text{test }+ \mid \text{malade}) = 0{,}95$, $\mathbb{P}(\text{test }+ \mid \text{sain}) = 0{,}05$.

Attention au sens de la condition. $\mathbb{P}(\text{test }+\mid\text{malade})=0{,}95$ ne signifie pas que la probabilité d'être malade sachant que le test est positif vaut $0{,}95$. Inverser les deux événements change la question.