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Schéma de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli n'a que deux issues : « succès » (codé $1$ ) ou « échec » (codé $0$ ). La probabilité de succès est $p$ .

La variable $X$ qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ sinon suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ , notée $\mathcal{B}(p)$ .

Exemple. Lancer une pièce truquée : succès = pile, $p = 0{,}6$ .

ExerciceÉtape 1/4

Schéma de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli a\dots

Loi de probabilité

\mathbb{P}(X = 1) = p, \qquad \mathbb{P}(X = 0) = 1 - p.

Exemple. $p = 0{,}3$ :

\mathbb{P}(X = 1) = 0{,}3, \quad \mathbb{P}(X = 0) = 0{,}7.

On a aussi $\mathbb{E}(X) = p$ et $\mathbb{V}(X) = p(1-p)$ .

ExerciceÉtape 1/4

Paramètres de la loi de Bernoulli

X \sim \mathcal{B}(p)

Reconnaître une Bernoulli

Chaque épreuve avec exactement deux résultats (oui/non, pile/face, défectueux/ conforme) peut être modélisée par une Bernoulli.

Exemple. Tirer une boule dans une urne : succès = « rouge » avec $p = \frac{2}{5}$ . Une seule épreuve → loi de Bernoulli $\mathcal{B}\!\left(\frac{2}{5}\right)$ .

ExerciceÉtape 1/4

Appliquer la loi de Bernoulli

\mathbb{P}(\text{pile}) = 0{,}7