numéro

Espérance

L'espérance de $X$ , notée $\mathbb{E}(X)$ , est la moyenne pondérée des valeurs de $X$ :

\mathbb{E}(X) = \sum_i x_i \times \mathbb{P}(X = x_i).

Exemple. $X$ prend les valeurs $0$ , $1$ , $2$ avec probabilités $0{,}25$ , $0{,}50$ , $0{,}25$ .

\mathbb{E}(X) = 0 \times 0{,}25 + 1 \times 0{,}50 + 2 \times 0{,}25 = 1.

ExerciceÉtape 1/4

Définition de l'espérance

\mathbb{E}(X)

On multiplie chaque valeur de $X$ par sa probabilité, puis on additionne les résultats.

Exemple. $X$ prend les valeurs $-1$ et $2$ avec les probabilités $0{,}4$ et $0{,}6$ :

\mathbb{E}(X) = (-1) \times 0{,}4 + 2 \times 0{,}6 = 0{,}8.

Ajouter une constante à toutes les valeurs décale l'espérance de la même quantité :

\mathbb{E}(X+c)=\mathbb{E}(X)+c.

Ainsi, si $\mathbb{E}(X)=0{,}8$ , alors $\mathbb{E}(X+3)=3{,}8$ .

ExerciceÉtape 1/4

Calculer une espérance

\mathbb{P}(X=0)=0{,}5

Votre réponse

Écrivez seulement un nombre, avec une virgule ou un point pour les décimales : 12,5 ou 12.5. Les fractions et les unités ne sont pas acceptées.

La variance mesure la dispersion autour de l'espérance :

\mathbb{V}(X) = \mathbb{E}\bigl((X - \mathbb{E}(X))^2\bigr) = \sum_i (x_i - \mathbb{E}(X))^2 \times \mathbb{P}(X = x_i).

L'écart-type est $\sigma(X) = \sqrt{\mathbb{V}(X)}$ .

Exemple. Avec l'exemple ci-dessus ( $\mathbb{E}(X) = 1$ ) :

\mathbb{V}(X) = (0-1)^2 \times 0{,}25 + (1-1)^2 \times 0{,}50 + (2-1)^2 \times 0{,}25 = 0{,}5.

\sigma(X) = \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}71.

ExerciceÉtape 1/5

Variance et écart-type

\mathbb{V}(X)