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Schéma de Bernoulli répété

On répète $n$ fois indépendamment la même épreuve de Bernoulli (même probabilité de succès $p$ ). La variable $X$ = « nombre de succès » suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ .

Exemple. $10$ lancers d'une pièce ( $p = 0{,}5$ ). $X$ = nombre de piles suit $\mathcal{B}(10, 0{,}5)$ .

ExerciceÉtape 1/4

Définition de la loi binomiale

X \sim \mathcal{B}(n, p)

Formule de la loi binomiale

Pour $k \in \{0, 1, \ldots, n\}$ :

\mathbb{P}(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}.

Le coefficient $\binom{n}{k}$ compte le nombre de façons de placer les $k$ succès parmi les $n$ épreuves. Le facteur $p^k(1-p)^{n-k}$ est la probabilité d'une disposition précise de ces succès et échecs.

Exemple. $3$ lancers de pièce équilibrée ( $n = 3$ , $p = \frac{1}{2}$ ). Probabilité d'obtenir exactement $2$ piles :

\mathbb{P}(X = 2) = \binom{3}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{3}{8}.

ExerciceÉtape 1/4

Conditions et formule

\mathbb{P}(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Calculer une probabilité binomiale

On identifie $n$ et $p$ , puis on applique la formule pour la valeur $k$ demandée.

Exemple. $5$ questions vrai/faux au hasard ( $n = 5$ , $p = 0{,}5$ ). Probabilité d'exactement $4$ bonnes réponses :

\mathbb{P}(X = 4) = \binom{5}{4} (0{,}5)^5 = \frac{5}{32}.

ExerciceÉtape 1/4

Calculer une probabilité binomiale

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