numéro

Espérance de la binomiale

Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ :

\mathbb{E}(X) = np.

Exemple. $20$ lancers de pièce équilibrée ( $n = 20$ , $p = 0{,}5$ ) :

\mathbb{E}(X) = 20 \times 0{,}5 = 10 \text{ piles en moyenne}.

ExerciceÉtape 1/4

Espérance de la loi binomiale

X \sim \mathcal{B}(n, p)

\mathbb{V}(X) = np(1-p), \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}.

Exemple. $X \sim \mathcal{B}(100, 0{,}3)$ :

\mathbb{E}(X) = 30, \quad \mathbb{V}(X) = 21, \quad \sigma(X) \approx 4{,}58.

ExerciceÉtape 1/4

Variance de la loi binomiale

X \sim \mathcal{B}(n, p)

L'espérance donne le nombre moyen de succès attendu sur $n$ épreuves. L'écart-type indique la dispersion typique autour de cette moyenne.

Exemple. Contrôle qualité : $n = 50$ pièces, $p = 0{,}02$ de défaut. $\mathbb{E}(X) = 1$ défaut en moyenne, $\mathbb{V}(X) = 0{,}98$ .

ExerciceÉtape 1/4

Interpréter espérance et variance

n = 50