Échantillonnage et intervalle de fluctuation

Échantillon et fréquence observée

On répète $n$ fois, de manière identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$. Si $X$ est le nombre de succès, alors $X\sim\mathcal{B}(n,p)$ et la fréquence observée est :

Elle fluctue autour de la probabilité théorique $p$. D'après les propriétés de la loi binomiale, $\mathbb{E}(F)=p$.

Exemple. On simule $100$ lancers de pièce ($p = 0{,}5$). On peut obtenir $48$ piles : $F = 0{,}48$, proche mais différent de $0{,}5$.

Intervalle de fluctuation (au seuil de 95 %)

On utilise la formule suivante lorsque $n\geq 25$ et $0{,}2\leq p\leq 0{,}8$. La fréquence $F$ appartient alors, dans environ 95 % des échantillons, à l'intervalle de fluctuation :

Exemple. $p = 0{,}5$, $n = 100$ :

Autrement dit :

La formule ne doit pas être appliquée sans vérification lorsque $n<25$ ou quand $p$ est en dehors de $[0{,}2\;;\;0{,}8]$.

Interpréter un intervalle

Si la fréquence observée sort de l'intervalle, on peut remettre en cause l'hypothèse sur $p$ (au seuil de 5 %). Si elle reste dedans, l'hypothèse est compatible avec l'observation.

Exemple. On suppose $p = 0{,}3$ et on observe $F = 0{,}45$ sur $n = 25$. L'intervalle est $[0{,}3 - 0{,}2\;;\; 0{,}3 + 0{,}2] = [0{,}1\;;\; 0{,}5]$. $0{,}45 \in I$ : l'écart peut s'expliquer par le hasard.