Volumes des solides usuels

Le volume compte combien de cubes unitaires remplissent le solide. Si l'unité est le cube de $1$ cm de côté, le volume s'exprime en cm³ (« centimètres cubes »).

Pavé droit et cube

Pour un pavé droit de longueur $L$, largeur $\ell$ et hauteur $h$ :

Un cube d'arête $a$ n'est que le cas $L = \ell = h = a$, donc $V = a \times a \times a = a^3$.

Exemple. Un pavé de $4$ cm sur $3$ cm sur $2$ cm : une couche contient $4 \times 3 = 12$ cubes, il y a $2$ couches, donc $V = 24$ cm³.

Attention au piège. $L + \ell + h$ est une somme de longueurs, pas un volume. Doubler une seule dimension double le volume ; doubler les trois le multiplie par $2 \times 2 \times 2 = 8$.

Un contrôle utile. Compter une couche $L \times \ell$, puis multiplier par le nombre d'étages $h$.

Prisme et pyramide

Un prisme droit, c'est une base qu'on empile sur une hauteur, comme le pavé :

Une pyramide de même base et même hauteur remplit le tiers de ce prisme :

Exemple. Une pyramide à base carrée de côté $6$ cm et de hauteur $5$ cm : aire de la base $6 \times 6 = 36$ cm², donc $V = \frac{1}{3} \times 36 \times 5 = 60$ cm³.

Cylindre, cône, boule

Le cylindre est un prisme dont la base est un disque d'aire $\pi r^2$ : $V = \pi r^2 h$.

Le cône de même base et même hauteur en occupe le tiers, comme la pyramide pour le prisme. Le volume d'une boule dépend du rayon au cube :

Limite. $4\pi r^2$ est l'aire de la sphère, pas son volume. Gardez l'unité cm³ pour un volume, cm² pour une aire.