Triangles : propriétés et construction

Un triangle, on l'a déjà vu : trois sommets non alignés. Ici on le mesure (angles, côtés), on le classe, et on apprend à le construire, y compris le cas où la construction échoue.

Somme des angles

Dans un triangle $ABC$, on écrit simplement $\widehat{A}$ pour l'angle au sommet $A$, c'est-à-dire $\widehat{BAC}$ ; de même $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$.

Dans tout triangle $ABC$,

Ce n'est pas réservé au triangle rectangle, ni à l'équilatéral : c'est la même somme dès que les trois points ne sont pas alignés.

Attention au piège. Connaître deux angles ne donne le troisième que si on soustrait à $180°$, pas si on les additionne entre eux. $80° + 50° = 130°$ n'est pas le troisième angle, c'est ce qu'il reste à retirer.

Inégalité triangulaire et construction

Chaque côté est strictement plus petit que la somme des deux autres :

Pour construire $ABC$ connaissant les trois côtés, on trace le segment $[AB]$, puis deux cercles : centre $A$ et rayon $AC$, centre $B$ et rayon $BC$. S'ils se coupent, le troisième sommet existe. Sinon, les longueurs mentent : ce n'est pas un triangle.

Un contrôle utile. Ranger les trois longueurs, prendre la plus grande, vérifier qu'elle est strictement inférieure à la somme des deux autres. $2$, $3$, $7$ échoue parce que $2 + 3 = 5 < 7$.

Triangles particuliers

Par les côtés : équilatéral (trois égaux, trois angles de $60°$), isocèle (deux égaux, deux angles égaux à la base), scalène (trois longueurs distinctes).

Par les angles : rectangle (un droit), acutangle (trois aigus), obtusangle (un obtus). Les deux classements se croisent : un triangle peut être isocèle et rectangle.

Un triangle isocèle en $A$ a deux côtés égaux qui partent de $A$ : $AB = AC$. Le point $A$ est le sommet principal, et le troisième côté $[BC]$ est la base. Les deux angles posés sur la base sont égaux : $\widehat{B} = \widehat{C}$. Sur une figure, on code les côtés égaux par le même petit trait.