Symétrie axiale

Plier une feuille le long d'une droite $(d)$ : chaque point $M$ vient se poser sur un point $M'$. C'est la symétrie axiale d'axe $(d)$, et $M'$ est le symétrique de $M$.

Pour construire $M'$ sans plier :

1. on trace la perpendiculaire à $(d)$ qui passe par $M$ ;
2. on reporte, de l'autre côté de $(d)$, la même distance que de $M$ à $(d)$.

Autrement dit, $(d)$ coupe le segment $[MM']$ en son milieu et perpendiculairement. Une droite qui coupe un segment de cette façon s'appelle la médiatrice du segment : l'axe est la médiatrice de $[MM']$.

Les longueurs, les angles et l'alignement sont conservés : la figure image est superposable à la figure de départ. Mais pour la superposer, il faut retourner la feuille. Regardez le triangle de la figure : si on lit ses sommets $M \to N \to P$ dans le sens des aiguilles d'une montre, on lit $M' \to N' \to P'$ dans le sens inverse. On dit que la symétrie axiale inverse le sens d'orientation.

Attention au piège. Quand l'axe est penché, $M'$ n'est ni « à la même hauteur » ni « juste en face horizontalement ». Il est sur la perpendiculaire à l'axe passant par $M$, et seulement là.

Un contrôle utile. Si $M$ est déjà sur l'axe, $M' = M$ : les points de l'axe ne bougent pas. On dit qu'ils sont invariants.