Homothétie

Une homothétie agrandit ou réduit une figure à partir d'un point $O$, son centre, en multipliant les distances à $O$ par un nombre $k$, son rapport.

Quand $k$ est positif. L'image $M'$ de $M$ est sur la demi-droite $[OM)$, avec $OM' = k \times OM$.

• si $k > 1$ : $M'$ est plus loin de $O$ que $M$, c'est un agrandissement ;
• si $0 < k < 1$ : $M'$ est plus près de $O$, c'est une réduction ;
• si $k = 1$ : rien ne bouge.

Exemple. Centre $O$, $k = 3$, et $OM = 2$ cm : $M'$ est sur $[OM)$ à $3 \times 2 = 6$ cm de $O$.

Quand $k$ est négatif. On fait la même chose avec le nombre sans son signe, mais de l'autre côté de $O$ : $M'$ est sur la droite $(OM)$, au delà de $O$ par rapport à $M$. Par exemple, pour $k = -2$ et $OM = 2$ cm, $M'$ est de l'autre côté de $O$, à $4$ cm de $O$. Pour $k = -1$, c'est exactement la symétrie centrale de centre $O$.

Longueurs, aires, volumes. Toutes les longueurs de la figure sont multipliées par le même nombre (le rapport, sans son signe). Pour les aires et les volumes, ce n'est pas le même facteur :

• un carré de côté $1$ cm agrandi avec $k = 2$ devient un carré de côté $2$ cm : il contient $2 \times 2 = 4$ petits carrés. Les aires sont multipliées par $k^2$ ;
• un cube d'arête $1$ cm agrandi avec $k = 2$ devient un cube d'arête $2$ cm : il contient $2 \times 2 \times 2 = 8$ petits cubes. Les volumes sont multipliés par $k^3$.

Attention au piège. $k = 2$ double les longueurs, pas les aires. L'aire d'un carré de côté $3$ cm devient, pour $k = 2$, $6 \times 6 = 36$ cm², soit $4$ fois $9$ cm².

Un contrôle utile. $k = 2$ et $k = -2$ donnent une image de la même taille, mais pas à la même place : le signe décide du côté de $O$.