Notion de fonction

Qu'est-ce qu'une fonction ?

Une fonction $f$ associe à un nombre $x$ un seul nombre $f(x)$.

On peut la voir comme une machine : on entre $x$, la machine applique sa règle de calcul, et elle ressort un unique résultat $f(x)$. Entrer deux fois le même nombre donne forcément deux fois le même résultat.

L'ensemble des nombres que l'on a le droit d'entrer s'appelle le domaine de la fonction. Il n'est pas toujours formé de tous les nombres : la machine $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ refuse $x = 0$, car la division par zéro est impossible. On dit alors que $0$ n'a pas d'image, et c'est pour cette raison qu'on précise « un seul nombre au plus » plutôt que « exactement un » : hors du domaine, il n'y en a aucun.

Exemple. Avec $f : x \mapsto 2x + 1$, on entre $3$ et on obtient $2 \times 3 + 1 = 7$.

Vocabulaire

Pour une fonction $f$ et un nombre $a$ de son domaine :

• $x$ est la variable ;
• $f(a)$ est l'image de $a$ par $f$ ;
• $a$ est un antécédent de $f(a)$.

Ces deux derniers mots décrivent le même couple de nombres, mais dans des sens opposés : l'antécédent est ce qui entre, l'image est ce qui sort.

Exemple. Pour $f(x) = 2x + 1$ et $x = -2$ :

L'antécédent est $-2$, l'image est $-3$.

Attention. Une image est unique, un antécédent ne l'est pas. La fonction carré donne la même image $9$ aux deux nombres $-3$ et $3$ : le nombre $9$ a donc deux antécédents, alors que $3$ n'a qu'une image.

Calculer une image

Pour calculer $f(a)$, on remplace $x$ par $a$ partout dans l'expression de $f$, puis on effectue le calcul dans l'ordre habituel des priorités.

Exemple. Soit $f(x) = 3x - 4$ :

Quand $a$ est négatif, il vaut mieux l'écrire entre parenthèses pour ne pas perdre son signe :

Un contrôle rapide : l'image d'un nombre ne doit dépendre que de ce nombre. Si deux calculs de $f(2)$ donnent des résultats différents, l'un des deux contient une erreur.