Systèmes d'équations linéaires

Deux inconnues, deux égalités

Une équation à deux inconnues, $x + y = 5$, a infiniment de solutions : $(1\,;\,4)$, $(2\,;\,3)$, $(0\,;\,5)$… Un système en pose une deuxième, et on cherche le couple $(x\,;\,y)$ qui vérifie les deux à la fois.

Graphiquement, chaque équation est une droite ; la solution est leur point d'intersection. Ici $(3\,;\,2)$ : $3 + 2 = 5$ et $3 - 2 = 1$.

Attention au piège. Un couple qui marche pour une équation ne marche pas forcément pour l'autre. $(4\,;\,1)$ vérifie $x + y = 5$, mais $4 - 1 = 3 \neq 1$. Ce n'est pas une solution du système.

Substitution

On tire une inconnue de l'une des équations, et on la remplace dans l'autre. Il reste une équation à une inconnue, qu'on sait résoudre.

Exemple. De $x + y = 5$, on tire $y = 5 - x$. Dans $x - y = 1$ :

Puis $y = 5 - 3 = 2$.

Un contrôle utile. Réinjecter le couple dans les deux équations de départ, pas seulement dans celle dont on a tiré $y$.

Combinaison

On additionne (ou retranche) les deux équations, éventuellement multipliées par un coefficient, pour éliminer une inconnue.

Exemple. En additionnant $x + y = 5$ et $x - y = 1$, les $y$ s'annulent : $2x = 6$, donc $x = 3$, puis $y = 2$.

Si les coefficients ne s'annulent pas tout seuls, on les aligne d'abord : pour $2x + y = 7$ et $x + y = 4$, retrancher la seconde à la première élimine $y$ et donne $x = 3$.

Ce que cette leçon clôt. Deux droites peuvent aussi être parallèles (aucune solution) ou confondues (infiniment de solutions). Au collège, les systèmes qu'on rencontre ont en général une solution, celle du point d'intersection. Le lycée reprendra les autres cas, et le second degré.